Espace de Hilbert L² et séries de Fourier

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 3 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Parmi les espaces $L^{p}$ du chapitre 2, l'espace $L^{2}$ est le seul dont la norme provient d'un produit scalaire. Il hérite ainsi de la géométrie euclidienne : orthogonalité, théorème de Pythagore, projection orthogonale, bases orthonormées — à ceci près que ces bases sont infinies, et qu'un vecteur y est la somme d'une série. Pour l'ingénieur, ce n'est pas un raffinement de mathématicien : $∥ f ∥_{2}^{2}$ est une énergie, la projection orthogonale est la méthode des moindres carrés, et décomposer un signal sur une base orthonormée, c'est en faire l'analyse spectrale.

Les séries de Fourier en sont l'exemple le plus utile : tout signal périodique d'énergie finie est la somme, au sens de l'énergie, de ses harmoniques, et l'énergie du signal est la somme des énergies de ses harmoniques (égalité de Parseval). Elles sont aussi l'outil de base de la résolution des équations aux dérivées partielles par séparation des variables (chapitre 9) et par les méthodes modales (chapitre 10).

Ce chapitre apprend à calculer une projection orthogonale et une meilleure approximation au sens des moindres carrés, à reconnaître une base hilbertienne et à utiliser l'égalité de Parseval, à calculer les coefficients de Fourier d'un signal et à choisir le bon théorème de convergence (en moyenne quadratique, ponctuelle, normale), enfin à développer une fonction définie sur un segment en série de sinus ou de cosinus. Il utilise du chapitre 2 l'inégalité de Cauchy--Schwarz (théorème 2.3), la complétude de $L^{2}$ (théorème 2.6), les inclusions sur un domaine de mesure finie (proposition 2.7) et la densité des fonctions continues (théorème 2.9) ; le reste — intégration par parties, séries numériques, sommes géométriques — vient de la classe préparatoire. La section 3.1 étudie la géométrie de $L^{2}$ : produit scalaire, projection, inégalité de Bessel, bases hilbertiennes et égalité de Parseval, procédé de Gram--Schmidt. La section 3.2 l'applique aux fonctions périodiques : coefficients de Fourier, convergence en moyenne quadratique, théorème de Dirichlet, phénomène de Gibbs, séries de sinus et de cosinus, calcul de sommes de séries.

Repère historique

Joseph Fourier, étudiant la propagation de la chaleur (mémoire de 1807, Théorie analytique de la chaleur, 1822), affirme que toute fonction périodique est une somme de sinus et de cosinus ; l'affirmation, trop générale, suscite un siècle de travaux. Dirichlet (1829) donne les premières conditions suffisantes de convergence ponctuelle ; Riemann invente son intégrale (1854) pour étudier les coefficients de Fourier. À partir de 1904, David Hilbert étudie les équations intégrales en représentant une fonction par la suite de ses coefficients sur une famille orthonormée. En 1907, Frigyes Riesz et Ernst Fischer montrent, avec l'intégrale toute neuve de Lebesgue, que $L^{2}$ est complet et que les suites de carré sommable correspondent exactement aux fonctions de carré intégrable. Erhard Schmidt (1907-1908) donne à ces espaces leur langage géométrique — norme, orthogonalité, projection — et le procédé d'orthonormalisation déjà utilisé par Gram (1883) ; John von Neumann les nomme espaces de Hilbert (1929). Le dépassement des sommes partielles au voisinage d'un saut, observé par Wilbraham (1848), porte le nom de Gibbs (1899).

Dans la section 3.1, $(Ω, A, μ)$ est un espace mesuré ; le plus souvent $Ω$ est un intervalle de $R$ muni de la mesure de Lebesgue, et l'on écrit $\int_{Ω} f (x) d x$ . Les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes ; $K$ désigne $R$ ou $C$ .

3.1 L'espace de Hilbert $L^{2}$

3.1.1 Produit scalaire et projection

Définition — Produit scalaire de $L^{2}$

Pour $f, g \in L^{2} (Ω)$ , on pose

$⟨ f, g ⟩ = \int_{Ω} f g d μ .$

L'intégrale existe par Cauchy--Schwarz. C'est un produit scalaire (hermitien si $K = C$ ), linéaire à gauche, et $⟨ f, f ⟩ = ∥ f ∥_{2}^{2}$ . Muni de ce produit scalaire, $L^{2} (Ω)$ est complet (théorème 2.6) : c'est un espace de Hilbert.

Plus généralement, si $w$ est une fonction mesurable strictement positive (un poids), $⟨ f, g ⟩_{w} = \int f g w d x$ est le produit scalaire de $L^{2} (Ω, w d x)$ : c'est l'espace $L^{2}$ de la mesure de densité $w$ . Les polynômes de Hermite, de Laguerre et de Tchebychev du chapitre 7 sont orthogonaux pour de tels poids.

Toute la géométrie euclidienne se transporte : $f$ et $g$ sont orthogonales si $⟨ f, g ⟩ = 0$ , et alors $∥ f + g ∥_{2}^{2} = ∥ f ∥_{2}^{2} + ∥ g ∥_{2}^{2}$ (Pythagore). Une famille $(e_{n})$ est orthonormale si $⟨ e_{n}, e_{m} ⟩ = δ_{nm}$ .

◆Théorème 3.1Projection sur un sous-espace de dimension finie

Soit $(e_{0}, \dots, e_{N})$ une famille orthonormale de $L^{2} (Ω)$ , $V$ le sous-espace qu'elle engendre et $f \in L^{2} (Ω)$ . Le vecteur

$P_{V} f = n = 0 \sum N ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$

est l'unique élément de $V$ tel que $f - P_{V} f$ soit orthogonal à $V$ , et c'est l'unique meilleure approximation de $f$ par un élément de $V$ :

$∥ f - P_{V} f ∥_{2} = v \in V min ∥ f - v ∥_{2}, ∥ f - P_{V} f ∥_{2}^{2} = ∥ f ∥_{2}^{2} - n = 0 \sum N ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} .$

Démonstration

Pour tout $m \leq N$ , $⟨ f - P_{V} f, e_{m} ⟩ = ⟨ f, e_{m} ⟩ - ⟨ f, e_{m} ⟩ = 0$ : $f - P_{V} f$ est orthogonal à chaque $e_{m}$ , donc à $V$ . Pour $v \in V$ , $P_{V} f - v \in V$ et, par Pythagore,

$∥ f - v ∥_{2}^{2} = ∥ f - P_{V} f ∥_{2}^{2} + ∥ P_{V} f - v ∥_{2}^{2} \geq ∥ f - P_{V} f ∥_{2}^{2},$

avec égalité si et seulement si $v = P_{V} f$ . Enfin, encore par Pythagore, $∥ f ∥_{2}^{2} = ∥ f - P_{V} f ∥_{2}^{2} + ∥ P_{V} f ∥_{2}^{2}$ et $∥ P_{V} f ∥_{2}^{2} = \sum_{n} ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ .

Le résultat s'étend, sans changement d'énoncé, à tout sous-espace fermé de $L^{2}$ (théorème de la projection, admis) : c'est la complétude de $L^{2}$ qui garantit l'existence du point le plus proche. C'est sur lui que reposent les formulations variationnelles et la méthode des éléments finis.

Exemple 3.2Moindres carrés continus

Cherchons la droite $a_{0} + a_{1} x$ la plus proche de $f (x) = x$ au sens de $L^{2} (0, 1)$ . Plutôt que d'orthonormaliser $1$ et $x$ , on écrit que l'erreur $f - a_{0} - a_{1} x$ est orthogonale à $1$ et à $x$ (théorème 3.1) : ce sont les équations normales

${⟨ 1, 1 ⟩ a_{0} + ⟨ x, 1 ⟩ a_{1} = ⟨ f, 1 ⟩ ⟨ 1, x ⟩ a_{0} + ⟨ x, x ⟩ a_{1} = ⟨ f, x ⟩ soit {a_{0} + \frac{1}{2} a_{1} = \frac{2}{3} \frac{1}{2} a_{0} + \frac{1}{3} a_{1} = \frac{2}{5} .$

On trouve $a_{0} = \frac{4}{15}$ et $a_{1} = \frac{4}{5}$ , avec une erreur $∥ f - a_{0} - a_{1} x ∥_{2} = \frac{1}{450} \approx 0, 047$ . La matrice du système, de coefficients $⟨ x^{i}, x^{j} ⟩ = \frac{1}{i + j + 1}$ , est la matrice de Hilbert ; elle devient très mal conditionnée quand on augmente le degré, ce qui est une raison pratique de préférer une base orthogonale (Legendre).

↳Corollaire 3.3Inégalité de Bessel

Si $(e_{n})_{n \in N}$ est une famille orthonormale de $L^{2} (Ω)$ , alors pour tout $f \in L^{2} (Ω)$ ,

$n = 0 \sum + \infty ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} \leq ∥ f ∥_{2}^{2} .$

En particulier, $⟨ f, e_{n} ⟩ \to 0$ .

En effet, d'après le théorème, $\sum_{n = 0}^{N} ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} \leq ∥ f ∥_{2}^{2}$ pour tout $N$ .

3.1.2 Bases hilbertiennes

Définition — Base hilbertienne

Une famille orthonormale $(e_{n})_{n \in N}$ de $L^{2} (Ω)$ est une base hilbertienne si l'ensemble de ses combinaisons linéaires finies est dense dans $L^{2} (Ω)$ .

Il ne s'agit pas d'une base au sens de l'algèbre linéaire : un élément de $L^{2}$ n'est pas, en général, une combinaison linéaire finie des $e_{n}$ , mais une série convergente au sens de la norme $∥ \cdot ∥_{2}$ .

◆Théorème 3.4Égalité de Parseval

Soit $(e_{n})$ une famille orthonormale de $L^{2} (Ω)$ . Il y a équivalence entre :

$(e_{n})$ est une base hilbertienne ;
pour tout $f \in L^{2} (Ω)$ , $f = n = 0 \sum + \infty ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$ , la série convergeant dans $L^{2}$ ;
pour tout $f \in L^{2} (Ω)$ , $∥ f ∥_{2}^{2} = n = 0 \sum + \infty ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ (égalité de Parseval).

Alors, pour $f, g \in L^{2}$ , $⟨ f, g ⟩ = \sum_{n} ⟨ f, e_{n} ⟩ ⟨ g, e_{n} ⟩$ .

Démonstration

Notons $S_{N} f = \sum_{n \leq N} ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$ , la projection de $f$ sur $V_{N} = Vect (e_{0}, \dots, e_{N})$ . Le théorème 3.1 donne $∥ f - S_{N} f ∥_{2}^{2} = ∥ f ∥_{2}^{2} - \sum_{n \leq N} ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ , ce qui prouve l'équivalence de 2 et 3.

1 $\Rightarrow$ 2 : soit $ε > 0$ et $v$ une combinaison linéaire finie des $e_{n}$ telle que $∥ f - v ∥_{2} \leq ε$ . Si $N$ est assez grand, $v \in V_{N}$ , et comme $S_{N} f$ est la meilleure approximation de $f$ dans $V_{N}$ (et que $V_{N}$ croît avec $N$ ), $∥ f - S_{N} f ∥_{2} \leq ∥ f - v ∥_{2} \leq ε$ .

2 $\Rightarrow$ 1 : les sommes partielles $S_{N} f$ sont des combinaisons finies qui tendent vers $f$ .

La dernière formule s'obtient en passant à la limite dans

$⟨ S_{N} f, S_{N} g ⟩ = n \leq N \sum ⟨ f, e_{n} ⟩ ⟨ g, e_{n} ⟩$

(le produit scalaire est continu, par Cauchy--Schwarz).

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Espace de Hilbert L² et séries de Fourier

Repère historique

3.1 L'espace de Hilbert L2

3.1.1 Produit scalaire et projection

Définition — Produit scalaire de L2

Démonstration

3.1.2 Bases hilbertiennes

Définition — Base hilbertienne

Démonstration

3.1 L'espace de Hilbert $L^{2}$

Définition — Produit scalaire de $L^{2}$