Coordonnées polaires — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Coordonnées polaires

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

Soit $α > 0$ . Déterminer pour quelles valeurs de $α$ la fonction $(x, y) \mapsto (1 + x^{2} + y^{2})^{- α}$ est intégrable sur $R^{2}$ , et calculer alors son intégrale. En déduire $\iint_{R^{2}} \frac{d x d y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ .

Corrigé

La fonction est positive : par Tonelli et le changement en coordonnées polaires (licite dans $[0, + \infty]$ ),

$\iint_{R^{2}} \frac{d x d y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{α}} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{r d r}{( 1 + r ^{2} ) ^{α}} d θ = 2 π \int_{0}^{+ \infty} \frac{r d r}{( 1 + r ^{2} ) ^{α}} .$

Au voisinage de $+ \infty$ , $\frac{r}{( 1 + r ^{2} ) ^{α}} \sim r^{1 - 2 α}$ , intégrable si et seulement si $1 - 2 α < - 1$ , c'est-à-dire $α > 1$ . Dans ce cas,

$2 π [- \frac{( 1 + r ^{2} ) ^{1 - α}}{2 ( α - 1 )}]_{0}^{+ \infty} = \frac{π}{α - 1} .$

Pour $α \leq 1$ , l'intégrale vaut $+ \infty$ . Avec $α = 2$ : $\iint_{R^{2}} \frac{d x d y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = π$ .