Deux intégrales itérées différentes — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Deux intégrales itérées différentes

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

Sur $] 0, 1]^{2}$ , on pose $f (x, y) = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ .

Calculer $\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} f (x, y) d y) d x$ et $\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} f (x, y) d x) d y$ .
En déduire que $f$ n'est pas intégrable sur $] 0, 1]^{2}$ .
Le vérifier directement en minorant $\iint ∣ f ∣$ à l'aide des coordonnées polaires.

Corrigé

Pour $x > 0$ fixé, $\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = f (x, y)$ , donc $\int_{0}^{1} f (x, y) d y = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ et $\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} f d y) d x = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ . Comme $f (y, x) = - f (x, y)$ , l'autre intégrale itérée vaut $- \frac{π}{4}$ .
Si $f$ était intégrable sur $] 0, 1]^{2}$ , le théorème de Fubini imposerait l'égalité des deux intégrales itérées. Elles diffèrent : $f$ n'est pas intégrable.
En polaires, $∣ f ∣ = \frac{∣ c o s 2 θ ∣}{r ^{2}}$ . Le quart de disque $Q = {0 < r < 1, 0 < θ < \frac{π}{2}}$ est contenu dans $] 0, 1]^{2}$ , et par Tonelli et le changement de variables (fonction positive),

$\iint_{] 0, 1]^{2}} ∣ f ∣ \geq \iint_{Q} ∣ f ∣ = \int_{0}^{π /2} ∣ cos 2 θ ∣ d θ \int_{0}^{1} \frac{r}{r ^{2}} d r = 1 \times (+ \infty) = + \infty.$

La singularité en $(0, 0)$ est trop forte : en dimension $2$ , une fonction en $r^{- 2}$ n'est pas intégrable près de l'origine (exemple 1.40).