Ensembles négligeables et presque partout — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Ensembles négligeables et presque partout

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

On munit $R$ de la mesure de Lebesgue $λ$ .

Montrer que toute partie dénombrable de $R$ est négligeable. En déduire $λ (Q) = 0$ et $λ ([0, 1] ∖ Q) = 1$ .
Montrer que la fonction partie entière $E$ est continue presque partout.
Montrer que $f_{n} (x) = sin^{n} x$ converge vers $0$ presque partout, puis déterminer la limite de $\int_{0}^{π} sin^{n} x d x$ quand $n \to + \infty$ .
Soit $f$ mesurable positive. Montrer que $\int f d λ = 0$ si et seulement si $f = 0$ p.p.

Pour $a \in R$ et $ε > 0$ , $λ ({a}) \leq λ ([a - ε, a + ε]) = 2 ε$ , donc $λ ({a}) = 0$ . Si $D = {a_{0}, a_{1}, \dots}$ est dénombrable, la sous-additivité donne $λ (D) \leq \sum_{n} λ ({a_{n}}) = 0$ . Ainsi $λ (Q) = 0$ , et comme $λ (Q \cap [0, 1]) = 0$ est finie, $λ ([0, 1] ∖ Q) = λ ([0, 1]) - λ (Q \cap [0, 1]) = 1$ : « presque tous » les réels de $[0, 1]$ sont irrationnels.
Sur chaque intervalle ouvert $] k, k + 1 [$ ( $k \in Z$ ), $E$ est constante, donc continue. L'ensemble des points de discontinuité est contenu dans $Z$ , dénombrable donc négligeable : $E$ est continue p.p.
Si $∣ sin x ∣ < 1$ , $sin^{n} x \to 0$ . L'ensemble où $∣ sin x ∣ = 1$ est $\frac{π}{2} + π Z$ , dénombrable : $f_{n} \to 0$ p.p. Sur $[0, π]$ , on a de plus $∣ f_{n} ∣ \leq 1 = 1_{[0, π]}$ , intégrable sur $[0, π]$ (mesure finie). Par convergence dominée, $\int_{0}^{π} sin^{n} x d x \to 0$ . (Numériquement : $0, 773$ , $0, 250$ , $0, 079$ pour $n = 10$ , $100$ , $1000$ ; on peut montrer que l'intégrale est équivalente à $2 π / n$ .)
Si $f = 0$ p.p., alors $\int f = \int 0 = 0$ (proposition 1.19). Réciproquement, si $\int f = 0$ , l'inégalité de Markov donne $λ ({f \geq \frac{1}{k}}) \leq k \int f = 0$ pour tout $k \geq 1$ ; donc $λ ({f > 0}) = λ (⋃_{k} {f \geq \frac{1}{k}}) = 0$ par continuité croissante : $f = 0$ p.p.