Limites d'intégrales

• Posons $f_n(x)=(1+\frac{x}{n}{)}^n{\mathrm{e}}^{-2x}{1}_{[0,n]}(x)$ sur $[0,+\infty [$. Pour $x$ fixé, dès que $n\ge x$, $f_n(x)=\exp (n\ln (1+\frac{x}{n})){\mathrm{e}}^{-2x}\to {\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-2x}={\mathrm{e}}^{-x}$. Comme $\ln (1+u)\le u$, $(1+\frac{x}{n}{)}^n\le {\mathrm{e}}^x$, d'où $0\le f_n(x)\le {\mathrm{e}}^{-x}$ pour tout $n$ et tout $x$. La fonction ${\mathrm{e}}^{-x}$ est intégrable sur $[0,+\infty [$ : par convergence dominée, la limite vaut ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1$. (Valeurs : $0,929$ pour $n=10$, $0,990$ pour $n=100$.)
• Pour $x>0$, $n\sin (x/n)\to x$, donc l'intégrande tend vers $\frac{1}{1+x^2}$. Comme $\left|\sin u\right|\le \left|u\right|$, $\left|\frac{n\sin (x/n)}{x(1+x^2)}\right|\le \frac{1}{1+x^2}$, intégrable sur $]0,+\infty [$ et indépendant de $n$. Par convergence dominée, la limite vaut ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}$.
• Pour $x\in [0,1[$, $n{x}^n\to 0$ : l'intégrande tend vers $0$ presque partout. Pourtant, par intégration par parties,

$${\int }_0^1\frac{n{x}^n}{1+x}\mathrm{d}x=[\frac{n}{n+1}\cdot \frac{x^{n+1}}{1+x}{]}_0^1+\frac{n}{n+1}{\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{n}{2(n+1)}+R_n,$$

avec $0\le R_n\le {\int }_0^1{x}^{n+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{n+2}\to 0$. La limite vaut donc $\frac{1}{2}$, et non $0$ : le théorème de convergence dominée ne s'applique pas. Il ne peut exister aucune fonction intégrable $g$ majorant tous les $\frac{n{x}^n}{1+x}$, sinon la limite serait $0$. La masse se concentre près de $x=1$.