Mesures de quelques ensembles — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Mesures de quelques ensembles

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

(Ensemble de Cantor) On retire de $[0, 1]$ l'intervalle ouvert $] \frac{1}{3}, \frac{2}{3} [$ , puis le tiers central ouvert de chacun des deux segments restants, et ainsi de suite. Calculer la longueur totale des intervalles retirés ; en déduire que l'ensemble $K$ des points restants est négligeable. (On admet que $K$ n'est pas dénombrable.)
Montrer de même que l'ensemble des $x \in [0, 1 [$ dont le développement décimal propre ne comporte aucun chiffre $7$ est négligeable.
Sur $R$ , on considère la mesure $μ = δ_{0} + λ$ . Calculer $μ ([- 1, 1])$ , $μ (Q)$ , $μ (R ∖ {0})$ et $\int_{R} e^{- ∣ x ∣} d μ (x)$ . Quels sont les ensembles $μ$ -négligeables ?

À l'étape $k \geq 0$ , on retire $2^{k}$ intervalles ouverts disjoints de longueur $3^{- (k + 1)}$ . Tous les intervalles retirés sont deux à deux disjoints, de longueur totale $\sum_{k \geq 0} 2^{k} 3^{- (k + 1)} = \frac{1}{3} \sum_{k \geq 0} (\frac{2}{3})^{k} = 1$ . Leur réunion $U$ est un ouvert de mesure $1$ , et $K = [0, 1] ∖ U$ a pour mesure $1 - 1 = 0$ .
Pour $k \geq 0$ , l'ensemble des $x$ dont les $k$ premières décimales sont différentes de $7$ et la $(k + 1)$ -ième égale à $7$ est une réunion de $9^{k}$ intervalles disjoints de longueur $1 0^{- (k + 1)}$ . Ces ensembles sont deux à deux disjoints et leur réunion est le complémentaire, dans $[0, 1 [$ , de l'ensemble étudié ; leur mesure totale vaut $\sum_{k \geq 0} 9^{k} 1 0^{- (k + 1)} = \frac{1}{10} \sum_{k \geq 0} (\frac{9}{10})^{k} = 1$ . L'ensemble des nombres sans chiffre $7$ est donc de mesure nulle.
$μ ([- 1, 1]) = δ_{0} ([- 1, 1]) + λ ([- 1, 1]) = 1 + 2 = 3$ ; $μ (Q) = 1 + 0 = 1$ ; $μ (R ∖ {0}) = 0 + \infty = + \infty$ . Comme l'intégrale est additive par rapport à la mesure (on le vérifie sur les fonctions étagées, puis par convergence monotone), $\int e^{- ∣ x ∣} d μ = e^{0} + \int_{R} e^{- ∣ x ∣} d x = 1 + 2 = 3$ . Un ensemble est $μ$ -négligeable si et seulement s'il est $λ$ -négligeable et ne contient pas $0$ .