Quelques valeurs de la fonction Gamma

• Par intégration par parties sur $[\epsilon ,A]$ puis passage à la limite, $\Gamma (t+1)=[-x^t{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^{+\infty }+t{\int }_0^{+\infty }{x}^{t-1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=t\Gamma (t)$, le crochet étant nul pour $t>0$. Comme $\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1$, une récurrence donne $\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=\cdots =n!$.
• Avec $x=u^2$ ($\mathrm{d}x=2u\mathrm{d}u$), $\Gamma (\frac{1}{2})={\int }_0^{+\infty }{x}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }2{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\sqrt{\pi }$ (exemple 1.34). Puis

$$\Gamma (n+\frac{1}{2})=(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\cdots \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2^n}\sqrt{\pi }=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi },$$

en multipliant numérateur et dénominateur par $2\cdot 4\cdots (2n)=2^{n}n!$. Par exemple $\Gamma (\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$, $\Gamma (\frac{5}{2})=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}$.

• $t\Gamma (t)=\Gamma (t+1)$, et $\Gamma$ est continue en $1$ (exemple 1.29) : $t\Gamma (t)\to \Gamma (1)=1$. Ainsi $\Gamma (t)\sim \frac{1}{t}$ quand $t\to 0^{+}$.