Séries doubles et fonction zêta — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Séries doubles et fonction zêta

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

On note $ζ (n) = \sum_{k \geq 1} k^{- n}$ pour $n \geq 2$ .

Montrer que $n = 1 \sum + \infty (ζ (2 n) - 1) = \frac{3}{4}$ .
Montrer que $n = 2 \sum + \infty (- 1)^{n} (ζ (n) - 1) = \frac{1}{2}$ , en justifiant l'interversion.

Corrigé

$ζ (2 n) - 1 = \sum_{k \geq 2} k^{- 2 n}$ , termes positifs : on peut intervertir (corollaire 1.35) :

$n \geq 1 \sum (ζ (2 n) - 1) = k \geq 2 \sum n \geq 1 \sum \frac{1}{k ^{2 n}} = k \geq 2 \sum \frac{1}{k ^{2} - 1} = \frac{1}{2} k \geq 2 \sum (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} .$

Posons $a_{n, k} = (- 1)^{n} k^{- n}$ ( $n \geq 2$ , $k \geq 2$ ). D'après l'exemple 1.36, $\sum_{n, k} ∣ a_{n, k} ∣ = \sum_{n} (ζ (n) - 1) = 1 < + \infty$ : Fubini s'applique, et

$n \geq 2 \sum (- 1)^{n} (ζ (n) - 1) = k \geq 2 \sum n \geq 2 \sum (- \frac{1}{k})^{n} = k \geq 2 \sum \frac{1/ k ^{2}}{1 + 1/ k} = k \geq 2 \sum \frac{1}{k ( k + 1 )} = k \geq 2 \sum (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{2} .$