Une intégrale à paramètre

Posons $f(t,x)={\mathrm{e}}^{-tx}\frac{\sin x}{x}$ pour $t>0$ et $x>0$.

• Soit $a>0$. Pour $t\ge a$ et $x>0$, $\left|f(t,x)\right|\le {\mathrm{e}}^{-ax}$ (car $\left|\sin x\right|\le x$), fonction intégrable sur $]0,+\infty [$ et indépendante de $t$. Pour tout $x$, $t\mapsto f(t,x)$ est continue. Par le théorème 1.27, $F$ est définie et continue sur $[a,+\infty [$, pour tout $a>0$, donc sur $]0,+\infty [$.
• $\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=-{\mathrm{e}}^{-tx}\sin x$, et pour $t\ge a$, $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\right|\le {\mathrm{e}}^{-ax}$, intégrable. Par le théorème 1.28, $F$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et

$$F^{\prime }(t)=-{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-tx}\sin x\mathrm{d}x=-\mathrm{Im}\frac{1}{t-i}=-\frac{1}{1+t^2}.$$

• $\left|F(t)\right|\le {\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-tx}\mathrm{d}x=\frac{1}{t}\to 0$. D'après 2, il existe une constante $C$ telle que $F(t)=C-\arctan t$ ; la limite en $+\infty$ donne $C=\frac{\pi }{2}$. Donc $F(t)=\frac{\pi }{2}-\arctan t$ pour tout $t>0$ (par exemple $F(1)=\frac{\pi }{4}$, ce que confirme le calcul numérique).
• Si l'on pouvait faire $t=0$, on trouverait ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$, et ce résultat est exact (pour l'intégrale généralisée). Mais le théorème 1.27 ne permet pas de le justifier : au voisinage de $t=0$, la seule majoration uniforme possible est $\left|f(t,x)\right|\le \frac{|\sin x|}{x}$, non intégrable sur $]0,+\infty [$. Il faut un argument propre aux intégrales semi-convergentes (une intégration par parties sur $[0,A]$, puis $A\to +\infty$), qui montre que $F$ est continue en $0$.