Une intégrale de Bose–Einstein — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Une intégrale de Bose–Einstein

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

Soit $s > 1$ . Montrer que

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{s - 1}}{e ^{x} - 1} d x = Γ (s) ζ (s), o u ˋ ζ (s) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{s}} .$

Que se passe-t-il si $s \leq 1$ ? Retrouver la valeur de l'exemple 1.15.

Corrigé

Pour $x > 0$ , $\frac{x ^{s - 1}}{e ^{x} - 1} = x^{s - 1} \frac{e ^{- x}}{1 - e ^{- x}} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- n x}$ , somme de fonctions positives : par le corollaire 1.14 (Tonelli), on peut intégrer terme à terme dans $[0, + \infty]$ . Avec $u = n x$ , $\int_{0}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- n x} d x = \frac{Γ ( s )}{n ^{s}}$ , donc

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{s - 1}}{e ^{x} - 1} d x = Γ (s) n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{s}} = Γ (s) ζ (s),$

fini pour $s > 1$ . Si $s \leq 1$ , l'égalité reste vraie dans $[0, + \infty]$ et les deux membres sont infinis : au voisinage de $0$ , l'intégrande est équivalent à $x^{s - 2}$ , d'exposant $\leq - 1$ , non intégrable. Pour $s = 2$ : $Γ (2) ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ , la valeur de l'exemple 1.15. Pour $s = 4$ , on obtient $Γ (4) ζ (4) = \frac{π ^{4}}{15}$ , constante de la loi de Stefan–Boltzmann du rayonnement du corps noir.