Une intégrale logarithmique — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Une intégrale logarithmique

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

Montrer que $\int_{0}^{1} \frac{ln x}{1 - x} d x = - \frac{π ^{2}}{6}$ , en justifiant l'intégration terme à terme.

Corrigé

Pour $x \in] 0, 1 [$ , $\frac{ln x}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} ln x$ . Tous les termes sont négatifs : appliquons le corollaire 1.14 aux fonctions positives $u_{n} (x) = - x^{n} ln x$ . Par intégration par parties,

$\int_{0}^{1} - x^{n} ln x d x = [- \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} ln x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{n + 1} d x = \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} .$

Donc $\int_{0}^{1} \frac{- l n x}{1 - x} d x = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ , et $\int_{0}^{1} \frac{ln x}{1 - x} d x = - \frac{π ^{2}}{6} \approx - 1, 6449$ .