Une série d'intégrales de signe variable

Pour $x>0$, $\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^x-1}={\sum }_{n=1}^{+\infty }\sin x{\mathrm{e}}^{-nx}$. Les termes changent de signe : on vérifie l'hypothèse du corollaire 1.25. Comme $\left|\sin x\right|\le x$,

$$\sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }\left|\sin x\right|{\mathrm{e}}^{-nx}\mathrm{d}x\le \sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-nx}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}<+\infty .$$

On peut donc intégrer terme à terme. Enfin ${\int }_0^{+\infty }\sin x{\mathrm{e}}^{-nx}\mathrm{d}x=\mathrm{Im}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{(i-n)x}\mathrm{d}x=\mathrm{Im}\frac{1}{n-i}=\mathrm{Im}\frac{n+i}{n^2+1}=\frac{1}{n^2+1}$, d'où

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2+1}\approx 1,0767.$$

(On peut montrer que cette somme vaut $\frac{\pi \coth \pi -1}{2}$.)