Barre encastrée et libre

• Une condition de Dirichlet en $0$ et une de Neumann en $L$ sont des cas particuliers des conditions de la proposition 10.2 : l'opérateur est symétrique et ses valeurs propres sont réelles (proposition 10.3).
• Si $\mu =-{\omega }^2<0$ : $\phi (0)=0$ donne $\phi =B\mathrm{sh}(\omega x)$ et ${\phi }^{\prime }(L)=B\omega \mathrm{ch}(\omega L)=0$ impose $B=0$. Si $\mu =0$ : $\phi =Bx$, ${\phi }^{\prime }(L)=B=0$. Si $\mu ={\omega }^2>0$ : $\phi =B\sin (\omega x)$ et ${\phi }^{\prime }(L)=B\omega \cos (\omega L)=0$ impose $\omega L=(2n-1)\frac{\pi }{2}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. D'où

$${\mu }_n=(\frac{(2n-1)\pi }{2L}{)}^2,{\phi }_n(x)=\sin \frac{(2n-1)\pi x}{2L}.$$

• Avec $\sin a\sin b=\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b))$ : ${\int }_0^L\sin \frac{\pi x}{2L}\sin \frac{3\pi x}{2L}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^L(\cos \frac{\pi x}{L}-\cos \frac{2\pi x}{L})\mathrm{d}x=0$. Et ${\Vert {\phi }_n\Vert }^2={\int }_0^L{\sin }^2\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^L(1-\cos \frac{(2n-1)\pi x}{L})\mathrm{d}x=\frac{L}{2}$, car $\sin ((2n-1)\pi )=0$.