Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 10 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Frappée, une poutre ne vibre pas n'importe comment : elle oscille selon quelques formes privilégiées, ses modes propres, chacune à sa fréquence propre. Toute vibration est une superposition de ces modes, et un ingénieur qui connaît les premiers sait déjà l'essentiel : à quelle fréquence l'ouvrage risque d'entrer en résonance, où placer un capteur, où ne pas placer un excitateur. Il en va de même pour la température d'un mur, qui se décompose en modes thermiques s'amortissant chacun à sa vitesse, ou pour l'acoustique d'une salle.

Mathématiquement, un mode propre est une fonction propre d'un opérateur différentiel muni de conditions aux limites. Ce chapitre transpose au cadre des fonctions ce que l'algèbre linéaire fait pour les matrices symétriques : valeurs propres réelles, vecteurs propres orthogonaux, décomposition sur une base propre. La décomposition d'une solution sur les modes, la méthode modale, remplace alors une équation aux dérivées partielles par une famille d'équations différentielles ordinaires indépendantes, une par mode. La séparation des variables du chapitre 9 en est le cas le plus simple ; les espaces $L^{2}$ et les bases hilbertiennes du chapitre 3 en fournissent le cadre.

Repère historique

Daniel Bernoulli affirme en 1753 que le mouvement d'une corde vibrante est une superposition de vibrations sinusoïdales simples ; Euler et d'Alembert le contestent, et la querelle ne se dénoue qu'avec Fourier (1807--1822). Charles Sturm et Joseph Liouville, en 1836--1837, établissent les propriétés des problèmes aux valeurs propres du second ordre qui portent leurs noms : valeurs propres réelles et rangées en suite croissante, fonctions propres orthogonales, développement de toute fonction sur elles. Lord Rayleigh, dans sa Théorie du son (1877), introduit le quotient qui donne une estimation de la fréquence fondamentale. Le cadre général, celui des opérateurs symétriques sur un espace de Hilbert, est l'œuvre de David Hilbert (1904--1910), à partir des équations intégrales du chapitre 11.

10.1 Des matrices aux opérateurs

10.1.1 Le modèle de la dimension finie

Deux masses $m$ reliées entre elles et à deux murs par trois ressorts de raideur $k$ obéissent, en notant $x_{1}, x_{2}$ leurs déplacements, au système

$m x^{''} + k A x = 0, A = (2 - 1 - 1 2) .$

La matrice $A$ est symétrique réelle : ses valeurs propres $1$ et $3$ sont réelles, et des vecteurs propres associés, $(1, 1)$ et $(1, - 1)$ , sont orthogonaux. Dans la base propre, on écrit $x (t) = q_{1} (t) (1, 1) + q_{2} (t) (1, - 1)$ ; en projetant l'équation sur chaque vecteur propre, on obtient deux équations découplées

$m q_{1}^{''} + k q_{1} = 0, m q_{2}^{''} + 3 k q_{2} = 0.$

Le premier mode (les deux masses en phase) vibre à la pulsation $k / m$ , le second (en opposition) à $3 k / m$ . Tout mouvement est une combinaison des deux. C'est exactement ce schéma que nous allons étendre à une infinité de degrés de liberté : une corde, une poutre, un mur.

10.1.2 Opérateur différentiel et conditions aux limites

En dimension infinie, la matrice est remplacée par un opérateur différentiel, par exemple $A = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ , et l'espace $R^{n}$ par $L^{2} (a, b)$ muni de $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f g$ (chapitre 3). Mais un opérateur différentiel seul ne suffit pas : l'équation $- φ^{''} = μ φ$ a des solutions non nulles pour tout $μ$ . Ce sont les conditions aux limites qui sélectionnent les valeurs propres ; elles font partie de la définition de l'opérateur.

Définition — Valeur propre, mode propre

Soit $A$ un opérateur différentiel sur $] a, b [$ et des conditions aux limites homogènes (C.L.). On note $D (A)$ , le domaine de l'opérateur, l'ensemble des fonctions assez régulières qui vérifient ces C.L. Un nombre $μ \in C$ est une valeur propre s'il existe $φ \in D (A)$ , $φ \neq = 0$ , telle que

$A φ = μ φ sur] a, b [.$

La fonction $φ$ est une fonction propre, ou mode propre ; elle n'est définie qu'à un facteur multiplicatif près.

Dans ce chapitre, la lettre $λ$ reste réservée à la mesure de Lebesgue ; les valeurs propres sont notées $μ$ , $μ_{n}$ .

Exemple 10.1La corde fixée à ses deux extrémités

Cherchons les valeurs propres de $- φ^{''} = μ φ$ sur $] 0, L [$ , avec $φ (0) = φ (L) = 0$ (conditions de Dirichlet), parmi les réels (on verra à la proposition 10.3 qu'il n'y en a pas d'autres).

Si $μ = - ω^{2} < 0$ : $φ = A ch (ω x) + B sh (ω x)$ ; $φ (0) = 0$ donne $A = 0$ , puis $φ (L) = B sh (ω L) = 0$ donne $B = 0$ : pas de mode.
Si $μ = 0$ : $φ = A + B x$ , et les deux conditions donnent $A = B = 0$ : pas de mode.
Si $μ = ω^{2} > 0$ ( $ω > 0$ ) : $φ = A cos (ω x) + B sin (ω x)$ ; $φ (0) = 0$ donne $A = 0$ , puis $B sin (ω L) = 0$ avec $B \neq = 0$ impose $ω L = nπ$ , $n \in N^{*}$ .

Les valeurs propres sont donc

$μ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}, φ_{n} (x) = sin (\frac{nπ x}{L}), n \in N^{*} .$

Le mode $φ_{n}$ s'annule $n - 1$ fois dans $] 0, L [$ (ses nœuds). On retrouve la base de sinus des séries de Fourier (chapitre 3).

Voici les trois premiers modes de la corde ( $L = 1$ ).

10.1.3 Opérateurs symétriques

L'analogue d'une matrice symétrique est un opérateur qui « passe d'un côté à l'autre » du produit scalaire.

Définition — Opérateur symétrique

L'opérateur $A$ , de domaine $D (A)$ , est symétrique (on dit aussi autoadjoint, ou hermitien) si

$⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩ pour tous u, v \in D (A) .$

Proposition 10.2L'opérateur

- d^{2} / d x^{2}

et ses conditions aux limites

L'opérateur $A u = - u^{''}$ sur $] a, b [$ , défini sur les fonctions de classe $C^{2}$ sur $[a, b]$ , est symétrique lorsque les conditions aux limites sont, en chaque extrémité, de l'un des types suivants :

Dirichlet : $u = 0$ ; Neumann : $u^{'} = 0$ ;
Robin (ou Fourier) : $α u + β u^{'} = 0$ , avec $α, β$ réels non tous deux nuls.

Démonstration

Deux intégrations par parties donnent, pour $u, v$ de classe $C^{2}$ ,

$\int_{a}^{b} (- u^{''} v + u v^{''}) d x = [u v^{'} - u^{'} v]_{a}^{b} .$

En $x = a$ , si $u$ et $v$ vérifient $α w (a) + β w^{'} (a) = 0$ avec $(α, β) \neq = (0, 0)$ réels, les vecteurs $(u (a), u^{'} (a))$ et $(v (a), v^{'} (a))$ sont tous deux orthogonaux à $(α, β)$ dans $C^{2}$ (pour la forme bilinéaire $α z_{1} + β z_{2}$ ), donc colinéaires : le déterminant $u (a) v^{'} (a) - u^{'} (a) v (a)$ est nul. Dirichlet ( $β = 0$ ) et Neumann ( $α = 0$ ) sont des cas particuliers. De même en $b$ : le crochet est nul, et $⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩$ .

Des conditions « initiales » ne conviennent pas

Avec les deux conditions en un même point, $u (a) = u^{'} (a) = 0$ , le crochet en $b$ ne s'annule plus et l'opérateur n'est pas symétrique. Il n'a d'ailleurs aucune valeur propre : la seule solution de $- φ^{''} = μ φ$ avec $φ (a) = φ^{'} (a) = 0$ est $φ = 0$ (unicité du problème de Cauchy). Un problème aux valeurs propres demande des conditions aux deux extrémités, une à chaque bout pour une équation du second ordre.

Proposition 10.3Valeurs propres réelles, modes orthogonaux

Soit $A$ un opérateur symétrique.

Ses valeurs propres sont réelles.
Deux fonctions propres associées à des valeurs propres distinctes sont orthogonales.

Démonstration

Si $A φ = μ φ$ , $φ \neq = 0$ , alors $μ ∥ φ ∥_{2}^{2} = ⟨ A φ, φ ⟩ = ⟨ φ, A φ ⟩ = μ ∥ φ ∥_{2}^{2}$ , donc $μ = μ$ .

Si $A φ = μ φ$ et $A ψ = ν ψ$ avec $μ \neq = ν$ (réels), alors $μ ⟨ φ, ψ ⟩ = ⟨ A φ, ψ ⟩ = ⟨ φ, A ψ ⟩ = ν ⟨ φ, ψ ⟩$ , donc $(μ - ν) ⟨ φ, ψ ⟩ = 0$ et $⟨ φ, ψ ⟩ = 0$ .

C'est la même preuve qu'en algèbre linéaire, et c'est pourquoi on peut chercher les valeurs propres parmi les réels seulement, comme dans l'exemple 10.1. On vérifie directement $\int_{0}^{L} sin \frac{nπ x}{L} sin \frac{mπ x}{L} d x = \frac{L}{2} δ_{nm}$ .

10.2 Le problème de Sturm--Liouville

10.2.1 Forme standard

Beaucoup d'équations de la physique du second ordre se mettent sous une forme commune : conduction dans une barre de section variable, vibrations d'une corde de densité variable, équations de Bessel et de Legendre.

Définition — Problème de Sturm–Liouville régulier

Soient $p$ de classe $C^{1}$ et $q, w$ continues sur $[a, b]$ , avec

$p (x) > 0 et w (x) > 0 sur [a, b] .$

Le problème de Sturm--Liouville consiste à trouver les $μ$ et les $y \neq = 0$ tels que

$- (p y^{'})^{'} + q y = μ w y sur] a, b [, {α_{1} y (a) + α_{2} y^{'} (a) = 0, β_{1} y (b) + β_{2} y^{'} (b) = 0,$

où $α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2}$ sont réels, $(α_{1}, α_{2}) \neq = (0, 0)$ et $(β_{1}, β_{2}) \neq = (0, 0)$ (conditions séparées). La fonction $w$ est le poids, et l'on travaille dans $L_{w}^{2} (a, b)$ muni de

$⟨ f, g ⟩_{w} = \int_{a}^{b} f (x) g (x) w (x) d x .$

L'opérateur associé est $A y = \frac{1}{w} (- (p y^{'})^{'} + q y)$ , et le problème s'écrit $A y = μ y$ . Le poids change le produit scalaire : les modes seront orthogonaux pour le poids $w$ .

Mettre une équation sous forme de Sturm–Liouville

Une équation $a_{2} (x) y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = - μ c (x) y$ avec $a_{2} > 0$ se met sous forme standard en multipliant par le facteur intégrant

$ρ (x) = \frac{1}{a _{2} ( x )} exp (\int \frac{a _{1}}{a _{2}}) : p = ρ a_{2}, q = - ρ a_{0}, w = ρ c .$

En effet $(p y^{'})^{'} = ρ a_{2} y^{''} + (ρ a_{2})^{'} y^{'}$ et $(ρ a_{2})^{'} = ρ a_{1}$ .

Proposition 10.4Symétrie, valeurs propres réelles et simples

Pour un problème de Sturm--Liouville régulier :

l'opérateur $A$ est symétrique dans $L_{w}^{2} (a, b)$ ;
ses valeurs propres sont réelles et ses modes associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{w}$ ;
chaque valeur propre est simple : ses modes sont tous proportionnels.

Démonstration

Le poids se simplifie : $⟨ A u, v ⟩_{w} = \int_{a}^{b} (- (p u^{'})^{'} + q u) v$ . L'identité de Lagrange, obtenue par deux intégrations par parties, donne

$\int_{a}^{b} (- (p u^{'})^{'} v + u (p v^{'})^{'}) d x = [p (u v^{'} - u^{'} v)]_{a}^{b},$

et le crochet est nul pour la même raison qu'à la proposition 10.2.

Conséquence de 1 et de la proposition 10.3.

Si $y$ et $z$ sont deux modes pour la même valeur propre $μ$ , leur wronskien $W = y z^{'} - y^{'} z$ vérifie $(p W)^{'} = y (p z^{'})^{'} - z (p y^{'})^{'} = y (q - μ w) z - z (q - μ w) y = 0$ : $p W$ est constant. En $x = a$ , $(y (a), y^{'} (a))$ et $(z (a), z^{'} (a))$ sont orthogonaux à $(α_{1}, α_{2})$ , donc colinéaires : $W (a) = 0$ . Ainsi $p W \equiv 0$ , et comme $p > 0$ , $W \equiv 0$ : $y$ et $z$ sont proportionnels.

Le résultat central, que nous admettons, dit que les modes suffisent à tout représenter.

◆Théorème 10.5Théorème de Sturm--Liouville

Les valeurs propres d'un problème de Sturm--Liouville régulier forment une suite strictement croissante

$μ_{1} < μ_{2} < μ_{3} < \dots, μ_{n} n \to + \infty + \infty.$

Le mode $φ_{n}$ s'annule exactement $n - 1$ fois dans $] a, b [$ , et la famille $(φ_{n})_{n \geq 1}$ est une base hilbertienne orthogonale de $L_{w}^{2} (a, b)$ : toute $f \in L_{w}^{2} (a, b)$ s'écrit

$f = n = 1 \sum + \infty c_{n} φ_{n}, c_{n} = \frac{⟨ f , φ _{n} ⟩ _{w}}{∥ φ _{n} ∥ _{w}^{2}},$

la série convergeant dans $L_{w}^{2} (a, b)$ .

Idée de la preuve. On inverse l'opérateur : si $0$ n'est pas valeur propre, la solution de $A y = f$ avec les C.L. s'écrit $y (x) = \int_{a}^{b} G (x, t) f (t) w (t) d t$ , où $G$ est la fonction de Green, continue et symétrique. L'opérateur intégral de noyau $G$ est symétrique et « compact » ; le théorème spectral de Hilbert--Schmidt (chapitre 11) lui donne une base orthonormée de fonctions propres, qui sont celles de $A$ , les valeurs propres étant inversées. La croissance vers $+ \infty$ et le décompte des zéros viennent des théorèmes de comparaison de Sturm.

Proposition 10.6Coefficients modaux et identité de Parseval

Sous les hypothèses du théorème 10.5, pour $f \in L_{w}^{2} (a, b)$ ,

$∥ f ∥_{w}^{2} = n = 1 \sum + \infty ∣ c_{n} ∣^{2} ∥ φ_{n} ∥_{w}^{2}, c_{n} = \frac{⟨ f , φ _{n} ⟩ _{w}}{∥ φ _{n} ∥ _{w}^{2}},$

et la somme partielle $\sum_{n \leq N} c_{n} φ_{n}$ est, parmi toutes les combinaisons de $φ_{1}, \dots, φ_{N}$ , celle qui approche le mieux $f$ au sens de $∥ \cdot ∥_{w}$ .

La suite du cours est sur Adloun

Le chapitre en entier, formules et figures comprises, avec le tuteur, les fiches, les QCM et les exercices.

Lire la suite du cours

En accès libre, sans inscription.

Exercices corrigés de ce chapitre

Lire la suite du cours →