Équations intégrales

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 11 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

On mesure la température à la surface d'un mur et l'on veut retrouver le flux de chaleur qui l'a produite ; on enregistre la réponse d'un sol à des chocs et l'on veut identifier ses propriétés ; on connaît la charge appliquée au bord d'un domaine et l'on veut calculer le champ à l'intérieur sans mailler tout le volume. Dans chacun de ces problèmes, la fonction inconnue apparaît sous un signe intégral : c'est une équation intégrale.

Elles surgissent de deux manières. Directement, quand la physique relie une cause à son effet par une intégrale (un effet de mémoire, une superposition d'influences) : c'est le cas des problèmes inverses. Indirectement, quand on intègre une équation différentielle en y incorporant ses conditions initiales ou aux limites : l'équation intégrale contient alors tout le problème en une seule ligne. Ce chapitre classe ces équations, les relie aux équations différentielles, présente les méthodes exactes (transformée de Laplace, noyaux séparables, série de Neumann), le théorème qui gouverne l'existence des solutions (l'alternative de Fredholm) et les méthodes numériques de l'ingénieur (quadrature, collocation, Galerkin).

Repère historique

Niels Henrik Abel résout en 1823 la première équation intégrale : retrouver la forme d'une courbe à partir du temps qu'un corps met à la descendre. Joseph Liouville et Carl Neumann (1877) étudient la résolution par itérations. Vito Volterra pose en 1896 les équations à borne variable qui portent son nom, modèles des phénomènes « à mémoire ». Ivar Fredholm, en 1900--1903, traite les équations à bornes fixes comme des systèmes linéaires d'une infinité d'équations et établit son alternative. David Hilbert en tire, de 1904 à 1910, la théorie spectrale des opérateurs symétriques, cadre des modes propres du chapitre 10 ; Erhard Schmidt et Frigyes Riesz achèvent l'édifice.

11.1 Définitions et classification

11.1.1 Les quatre types

Définition — Équations de Fredholm et de Volterra

Soient $[a, b]$ un intervalle, $K : [a, b]^{2} \to C$ une fonction (le noyau), $g$ une fonction donnée et $λ \in C$ un paramètre. L'inconnue est la fonction $u$ .

Équation de Fredholm de seconde espèce : $u (x) = g (x) + λ \int_{a}^{b} K (x, t) u (t) d t$ .
Équation de Fredholm de première espèce : $\int_{a}^{b} K (x, t) u (t) d t = g (x)$ .
Équations de Volterra (de première ou de seconde espèce) : la borne supérieure est variable, $u (x) = g (x) + λ \int_{a}^{x} K (x, t) u (t) d t$ ou $\int_{a}^{x} K (x, t) u (t) d t = g (x)$ .

L'équation est homogène si $g = 0$ . Les équations considérées ici sont linéaires en $u$ .

Une équation de Volterra est une équation de Fredholm dont le noyau est nul pour $t > x$ : il suffit de poser $K (x, t) = 0$ si $t > x$ . Mais cette structure « triangulaire », qui traduit la causalité (l'état en $x$ ne dépend que du passé $t \leq x$ ), lui donne des propriétés bien meilleures (section 11.6).

Dans les supports de cours, on rencontre aussi l'écriture $λ \int K u + u + g = 0$ ; elle se ramène à la précédente en changeant $g$ en $- g$ et $λ$ en $- λ$ . On note $K$ l'opérateur intégral

$(K u) (x) = \int_{a}^{b} K (x, t) u (t) d t,$

de sorte que l'équation de seconde espèce s'écrit $u = g + λ K u$ , soit $(I - λ K) u = g$ , et la première espèce $K u = g$ .

iRemarqueValeur caractéristique et valeur propre

L'équation homogène $u = λ K u$ a une solution $u \neq = 0$ si et seulement si $K u = \frac{1}{λ} u$ : $\frac{1}{λ}$ est une valeur propre de $K$ . On dit que $λ$ est une valeur caractéristique du noyau. C'est l'inverse d'une valeur propre ; les deux vocabulaires coexistent dans la littérature.

11.1.2 Le cadre $L^{2}$ : noyaux de Hilbert--Schmidt

On cherche en général $u \in L^{2} (a, b)$ , avec un noyau de carré intégrable sur le carré $[a, b]^{2}$ .

Proposition 11.1Opérateur de Hilbert--Schmidt

Si $K \in L^{2} ([a, b]^{2})$ , alors pour toute $u \in L^{2} (a, b)$ , $K u$ est définie presque partout, appartient à $L^{2} (a, b)$ , et

$∥ K u ∥_{2} \leq ∥ K ∥_{L^{2} ([a, b]^{2})} ∥ u ∥_{2}, ∥ K ∥_{L^{2} ([a, b]^{2})} = (\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} ∣ K (x, t) ∣^{2} d t d x)^{1/2} .$

Démonstration

Par Tonelli (théorème 1.32), $\int_{a}^{b} (\int_{a}^{b} ∣ K (x, t) ∣^{2} d t) d x < + \infty$ , donc $k (x) = \int_{a}^{b} ∣ K (x, t) ∣^{2} d t$ est finie pour presque tout $x$ . Pour un tel $x$ , l'inégalité de Cauchy--Schwarz donne

$∣ (K u) (x) ∣^{2} \leq (\int_{a}^{b} ∣ K (x, t) ∣ ∣ u (t) ∣ d t)^{2} \leq k (x) ∥ u ∥_{2}^{2},$

ce qui montre que l'intégrale définissant $(K u) (x)$ converge absolument. On intègre en $x$ : $∥ K u ∥_{2}^{2} \leq ∥ u ∥_{2}^{2} \int_{a}^{b} k (x) d x = ∥ K ∥_{L^{2} ([a, b]^{2})}^{2} ∥ u ∥_{2}^{2}$ .

Un noyau est dit symétrique (hermitien) si $K (t, x) = K (x, t)$ ; l'opérateur $K$ est alors symétrique au sens du chapitre 10 : $⟨ K u, v ⟩ = ⟨ u, K v ⟩$ , par Fubini.

11.1.3 La première espèce est mal posée

Un problème instable

Si $K$ est continu, l'opérateur $K$ « lisse » : il écrase les oscillations rapides. Pour $K (x, t) = e^{x t}$ sur $[0, 1]$ et $u_{n} (t) = sin (nπ t)$ , de norme uniforme $1$ , la fonction $g_{n} = K u_{n}$ vérifie

$x \in [0, 1] sup ∣ g_{n} (x) ∣ \approx 1, 07 (n = 1), 0, 055 (n = 10), 0, 011 (n = 50),$

et tend vers $0$ (lemme de Riemann--Lebesgue, chapitre 5). Ainsi deux seconds membres très proches, $g$ et $g + g_{50}$ , ont des solutions $u$ et $u + u_{50}$ qui diffèrent d'une oscillation d'amplitude $1$ : une erreur de mesure minime sur $g$ produit une erreur énorme sur $u$ . Une équation de première espèce n'est pas bien posée au sens d'Hadamard (chapitre 8) ; sa résolution numérique demande une régularisation (méthode de Tikhonov, troncature spectrale). Les équations de seconde espèce n'ont pas ce défaut.

11.2 Équations intégrales et équations différentielles

11.2.1 Problème de Cauchy et équation de Volterra

Le passage d'une équation différentielle à une équation intégrale repose sur une identité de Cauchy, conséquence de Fubini.

▪Lemme 11.2Intégrale itérée

Pour $h$ continue sur $[0, X]$ et $x \in [0, X]$ ,

$\int_{0}^{x} (\int_{0}^{s} h (t) d t) d s = \int_{0}^{x} (x - t) h (t) d t .$

Démonstration

Le membre de gauche est l'intégrale de $h (t)$ sur le triangle ${0 \leq t \leq s \leq x}$ . Par Fubini (la fonction $h$ est bornée sur ce triangle borné), on intègre d'abord en $s \in [t, x]$ , ce qui donne le facteur $x - t$ .

Proposition 11.3Problème de Cauchy du second ordre

Soient $q, f$ continues sur $[0, X]$ . Une fonction $y$ de classe $C^{2}$ vérifie

$y^{''} + q (x) y = f (x), y (0) = y_{0}, y^{'} (0) = y_{1},$

si et seulement si $y$ est continue et solution de l'équation de Volterra de seconde espèce

$y (x) = y_{0} + y_{1} x + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t - \int_{0}^{x} (x - t) q (t) y (t) d t .$

Démonstration

Si $y$ est solution, on intègre deux fois $y^{''} = f - q y$ entre $0$ et $x$ en tenant compte des conditions initiales, et le lemme 11.2 transforme l'intégrale double en intégrale simple. Réciproquement, si $y$ continue vérifie l'équation intégrale, le membre de droite est de classe $C^{2}$ (dérivation d'une intégrale à borne variable) : on dérive deux fois, $y^{'} (x) = y_{1} + \int_{0}^{x} (f - q y)$ , puis $y^{''} = f - q y$ , et l'on lit $y (0) = y_{0}$ , $y^{'} (0) = y_{1}$ .

L'équation intégrale contient l'équation et les conditions initiales. Le noyau, $K (x, t) = - (x - t) q (t)$ , est de Volterra. Pour une équation non linéaire $y^{'} = F (x, y)$ , $y (0) = y_{0}$ , on obtient de même $y (x) = y_{0} + \int_{0}^{x} F (t, y (t)) d t$ , équation de Volterra non linéaire, point de départ de la méthode des approximations successives de Picard et du théorème de Cauchy--Lipschitz.

Exemple 11.4Itérations de Picard

Pour $y^{''} + x y = 0$ , $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ , l'équation intégrale est $y (x) = 1 - \int_{0}^{x} (x - t) t y (t) d t$ . En partant de $y_{0} = 1$ et en itérant $y_{k + 1} = 1 - \int_{0}^{x} (x - t) t y_{k} (t) d t$ :

$y_{1} = 1 - \frac{x ^{3}}{6}, y_{2} = 1 - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{6}}{180},$

qui sont exactement les débuts du développement en série entière de la solution, obtenu par la méthode des coefficients indéterminés ( $a_{k + 2} = - \frac{a _{k - 1}}{( k + 2 ) ( k + 1 )}$ : $a_{3} = - \frac{1}{6}$ , $a_{6} = \frac{1}{180}$ , $a_{9} = - \frac{1}{12 960}$ ).

11.2.2 Problème aux limites et fonction de Green

Proposition 11.5Fonction de Green de

- y^{''}

avec Dirichlet

Pour $f$ continue sur $[0, 1]$ , l'unique solution de $- y^{''} = f$ , $y (0) = y (1) = 0$ , est

$y (x) = \int_{0}^{1} G (x, t) f (t) d t, G (x, t) = {t (1 - x) x (1 - t) si 0 \leq t \leq x, si x \leq t \leq 1.$

Démonstration

On écrit $y (x) = (1 - x) \int_{0}^{x} t f (t) d t + x \int_{x}^{1} (1 - t) f (t) d t$ et l'on dérive : $y^{'} (x) = - \int_{0}^{x} t f + \int_{x}^{1} (1 - t) f$ (les termes provenant des bornes se compensent), puis $y^{''} (x) = - x f (x) - (1 - x) f (x) = - f (x)$ . Enfin $y (0) = y (1) = 0$ . L'unicité vient de ce que la différence de deux solutions est affine et nulle aux deux bouts.

Par exemple, $f = 1$ donne $y = \int_{0}^{1} G (x, t) d t = \frac{x ( 1 - x )}{2}$ . Le noyau $G$ est continu et symétrique. On en déduit deux reformulations importantes.

Le problème $- y^{''} + q y = f$ , $y (0) = y (1) = 0$ , équivaut à l'équation de Fredholm de seconde espèce $y (x) = \int_{0}^{1} G (x, t) f (t) d t - \int_{0}^{1} G (x, t) q (t) y (t) d t$ .
Le problème aux valeurs propres $- y^{''} = μ y$ , $y (0) = y (1) = 0$ , équivaut à l'équation homogène $y = μ G y$ . Les valeurs propres $μ_{n} = n^{2} π^{2}$ du chapitre 10 sont les valeurs caractéristiques du noyau $G$ : on vérifie que $\int_{0}^{1} G (x, t) sin (nπ t) d t = \frac{s i n ( nπ x )}{n ^{2} π ^{2}}$ .

C'est par ce détour que l'on démontre le théorème de Sturm--Liouville (théorème 10.5) : les propriétés des opérateurs intégraux symétriques (section 11.7) se transportent aux opérateurs différentiels.

11.2.3 Une EDP résolue par une intégrale sur le bord

La fonction de Green s'étend aux EDP. Pour le laplacien dans le disque de rayon $R$ , la solution du problème de Dirichlet $Δ u = 0$ dans le disque, $u = f$ sur le cercle, est donnée par l'intégrale de Poisson

$u (r, θ) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2} - r ^{2}}{R ^{2} - 2 R r cos ( θ - φ ) + r ^{2}} f (φ) d φ,$

qui s'obtient en sommant la solution par séparation des variables (chapitre 9) : $u = a_{0} + \sum_{n \geq 1} (\frac{r}{R})^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$ , puis en échangeant série et intégrale (convergence dominée, chapitre 1, pour $r < R$ ). Pour $f (φ) = cos φ$ et $R = 1$ , on trouve $u = r cos θ$ ; pour $f = cos^{2} φ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 φ$ , $u = \frac{1}{2} + \frac{r ^{2}}{2} cos 2 θ$ (vérifié par quadrature numérique). La solution à l'intérieur ne dépend que des valeurs au bord : une inconnue définie sur une courbe au lieu d'une surface. C'est l'idée des méthodes intégrales de frontière, où l'on représente $u$ par un potentiel de simple ou de double couche et où l'on écrit une équation intégrale sur $\partial Ω$ ; discrétisée, elle donne la méthode des éléments de frontière (BEM), adaptée aux domaines infinis (sols, acoustique, électrostatique).

11.3 Deux modèles d'ingénieur

11.3.1 Flux de chaleur et température de surface

Un massif semi-infini (un mur très épais, un sol), de conductivité $k$ , de masse volumique $ρ$ et de capacité thermique massique $c$ , initialement à température uniforme, reçoit à sa surface un flux de chaleur $q (t)$ (en W/m $^{2}$ ). La résolution de l'équation de la chaleur (par la transformée de Laplace, chapitre 4) montre que l'élévation de température de la surface est

$T_{s} (t) = \frac{1}{b π} \int_{0}^{t} \frac{q ( τ )}{t - τ} d τ, b = k ρ c (effusivit e ˊ thermique) .$

Le problème direct, calculer $T_{s}$ connaissant $q$ , est une simple intégrale. Le problème inverse, retrouver le flux à partir de la température mesurée en surface (par un thermocouple ou une caméra infrarouge), est une équation d'Abel d'exposant $α = \frac{1}{2}$ : on la résoudra à la section 11.4.

Exemple 11.6Une dalle de béton au soleil

Pour un flux constant $q_{0}$ , $\int_{0}^{t} (t - τ)^{- 1/2} d τ = 2 t$ et $T_{s} (t) = \frac{2 q _{0} t}{b π}$ : la surface s'échauffe comme $t$ . Pour du béton ( $k = 1, 7$ W/(m K), $ρ = 2300$ kg/m $^{3}$ , $c = 880$ J/(kg K)), $b \approx 1855$ SI, et un flux de $1000$ W/m $^{2}$ élève la surface d'environ $36, 5$ K en une heure. Réciproquement, une température de surface mesurée en $A t$ révèle un flux constant $q_{0} = \frac{π}{2} b A$ .

11.3.2 Fluage et relaxation d'un matériau viscoélastique

Le béton, les polymères, les sols argileux continuent de se déformer sous une charge constante : c'est le fluage. On le décrit par une fonction de fluage $J (t)$ , déformation à l'instant $t$ sous une contrainte unité appliquée à l'instant $0$ . Par le principe de superposition de Boltzmann, une histoire de contrainte $σ (t)$ , nulle avant $0$ , produit la déformation

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Équations intégrales

Repère historique

11.1 Définitions et classification

11.1.1 Les quatre types

Définition — Équations de Fredholm et de Volterra

11.1.2 Le cadre L2 : noyaux de Hilbert--Schmidt

Démonstration

11.1.3 La première espèce est mal posée

Un problème instable

11.2 Équations intégrales et équations différentielles

11.2.1 Problème de Cauchy et équation de Volterra

Démonstration

Démonstration

11.2.2 Problème aux limites et fonction de Green

Démonstration

11.2.3 Une EDP résolue par une intégrale sur le bord

11.3 Deux modèles d'ingénieur

11.3.1 Flux de chaleur et température de surface

11.3.2 Fluage et relaxation d'un matériau viscoélastique

11.1.2 Le cadre $L^{2}$ : noyaux de Hilbert--Schmidt