Séparation des variables

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 9 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une barre d'acier sortie du four refroidit ; la corde d'une guitare vibre ; une plaque mince est maintenue à des températures différentes sur ses bords. Dans les trois cas, la géométrie est simple (un segment, un rectangle, un disque) et l'équation linéaire. La séparation des variables exploite cette simplicité : on cherche d'abord des solutions particulières où chaque variable intervient dans un facteur séparé, $u (x, t) = X (x) T (t)$ ; l'EDP se scinde alors en équations différentielles ordinaires, que l'on sait résoudre. On superpose ensuite ces solutions élémentaires, en série, pour satisfaire la dernière condition, et c'est là qu'apparaissent les séries de Fourier.

Ce chapitre présente la méthode pas à pas, puis la traite complètement sur les problèmes types de l'ingénieur : équilibre thermique d'une plaque rectangulaire, refroidissement d'une barre, corde vibrante, équilibre dans un disque, vibrations d'une membrane circulaire (qui font apparaître les fonctions de Bessel). Il se termine par les problèmes non homogènes et par la justification des calculs sur les séries, qui repose sur les théorèmes d'interversion du chapitre 1. La théorie générale des problèmes aux valeurs propres qui sous-tendent la méthode est l'objet du chapitre 10.

Repère historique

Daniel Bernoulli propose en 1753 d'écrire le mouvement d'une corde comme une superposition de vibrations sinusoïdales ; d'Alembert et Euler doutent qu'une forme quelconque puisse s'obtenir ainsi. Joseph Fourier, ingénieur et préfet de l'Isère, reprend l'idée pour la chaleur dans un mémoire de 1807, refusé pour manque de rigueur, puis dans sa Théorie analytique de la chaleur (1822) : il y sépare les variables et affirme que toute fonction est somme de sa série trigonométrique. Dirichlet (1829) en donne les premières conditions précises ; Bessel (1824) étudie, pour l'astronomie, les fonctions qui décrivent les vibrations d'un tambour.

9.1 Le principe de la méthode

9.1.1 Un premier exemple

Considérons la température $u (x, t)$ d'une barre de longueur $L$ , dont les extrémités sont maintenues à $0$ et qui part d'une température $u_{0}$ ; on note (B) ce problème :

$\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (0 < x < L, t > 0), u (0, t) = u (L, t) = 0 (t \geq 0), u (x, 0) = u_{0} (x) .$

Cherchons des solutions non identiquement nulles de la forme $u (x, t) = X (x) T (t)$ , en laissant de côté pour l'instant la condition initiale. En reportant dans l'équation, $X (x) T^{'} (t) = κ X^{''} (x) T (t)$ , puis en divisant par $κ X (x) T (t)$ :

$\frac{T ^{'} ( t )}{κ T ( t )} = \frac{X ^{''} ( x )}{X ( x )} .$

Le membre de gauche ne dépend que de $t$ , celui de droite que de $x$ . En fixant $t = t_{0}$ , on voit que $X^{''} / X$ est constant ; en fixant $x = x_{0}$ , que $T^{'} / (κ T)$ est constant, et c'est la même constante. Notons-la $- μ$ :

$X^{''} + μ X = 0, T^{'} + κ μ T = 0.$

Les conditions aux limites se séparent aussi : $u (0, t) = X (0) T (t) = 0$ pour tout $t$ , et $T$ n'est pas identiquement nulle, donc $X (0) = 0$ ; de même $X (L) = 0$ . On obtient le problème aux valeurs propres

$X^{''} + μ X = 0, X (0) = X (L) = 0,$

dont on cherche les solutions non nulles.

9.1.2 La méthode en neuf étapes

Séparation des variables pour un problème linéaire

Homogénéiser : se ramener, par un relèvement (section 9.8), à un problème où l'équation et toutes les conditions aux limites sauf une (ou sauf la condition initiale) sont homogènes.
Chercher des solutions produits $u = X (x) Y (y)$ ou $u = X (x) T (t)$ , non identiquement nulles.
Séparer l'équation : reporter, diviser par $X Y$ , obtenir « fonction de $x$ = fonction de $y$ », donc égale à une constante commune $- μ$ .
Séparer les conditions homogènes grâce au « pour tout » : $u (0, y) = X (0) Y (y) = 0$ pour tout $y$ donne $X (0) = 0$ .
Résoudre le problème aux valeurs propres dans la variable qui porte deux conditions homogènes : discuter selon le signe de $μ$ ; seules certaines valeurs $μ_{n}$ donnent une solution non nulle $X_{n}$ .
Résoudre l'autre équation pour chaque $μ_{n}$ , avec ses conditions homogènes.
Superposer : $u = \sum_{n} c_{n} X_{n} Y_{n}$ (proposition 8.2).
Ajuster les coefficients $c_{n}$ à la condition restante (non homogène, ou initiale) par un développement en série de Fourier (chapitre 3).
Justifier la convergence de la série et des séries dérivées (section 9.9).

Quand la méthode ne s'applique pas

La méthode exige trois choses : une équation qui se sépare (ce n'est pas le cas de $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = 0$ en cartésiennes) ; un domaine dont le bord est formé de lignes de coordonnées (un rectangle en cartésiennes, un disque ou une couronne en polaires, mais pas un hexagone) ; des conditions aux limites qui se séparent elles aussi. Lorsqu'elle échoue, on recourt aux méthodes numériques (différences finies, éléments finis).

9.2 Le problème aux valeurs propres modèle

Proposition 9.1Valeurs propres de

- X^{''}

sur un segment

Soit $L > 0$ . On cherche les réels $μ$ pour lesquels $X^{''} + μ X = 0$ admet une solution $X$ non identiquement nulle sur $[0, L]$ vérifiant :

Dirichlet--Dirichlet $X (0) = X (L) = 0$ : alors $μ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}$ et $X_{n} (x) = sin \frac{nπ x}{L}$ , $n \geq 1$ ;
Neumann--Neumann $X^{'} (0) = X^{'} (L) = 0$ : alors $μ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}$ et $X_{n} (x) = cos \frac{nπ x}{L}$ , $n \geq 0$ (avec $μ_{0} = 0$ , $X_{0} = 1$ ) ;
Dirichlet--Neumann $X (0) = 0$ , $X^{'} (L) = 0$ : alors $μ_{n} = (\frac{( 2 n + 1 ) π}{2 L})^{2}$ et $X_{n} (x) = sin \frac{( 2 n + 1 ) π x}{2 L}$ , $n \geq 0$ .

Dans chaque cas, les $X_{n}$ sont deux à deux orthogonales dans $L^{2} (0, L)$ .

Démonstration

Traitons le cas Dirichlet--Dirichlet ; les autres sont analogues (exercice 9.11 pour le troisième).

Si $μ = - ω^{2} < 0$ : $X = A ch (ω x) + B sh (ω x)$ ; $X (0) = 0$ donne $A = 0$ , puis $X (L) = B sh (ω L) = 0$ donne $B = 0$ car $sh (ω L) \neq = 0$ .
Si $μ = 0$ : $X = A + B x$ , et $X (0) = X (L) = 0$ donne $A = B = 0$ .
Si $μ = ω^{2} > 0$ ( $ω > 0$ ) : $X = A cos (ω x) + B sin (ω x)$ ; $X (0) = 0$ donne $A = 0$ , puis $B sin (ω L) = 0$ avec $B \neq = 0$ impose $ω L = nπ$ , $n \in N^{*}$ .

Pour l'orthogonalité, si $n \neq = m$ , $\int_{0}^{L} sin \frac{nπ x}{L} sin \frac{mπ x}{L} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} (cos \frac{( n - m ) π x}{L} - cos \frac{( n + m ) π x}{L}) d x = 0$ .

Les valeurs $μ < 0$ et, sauf pour Neumann, $μ = 0$ ne donnent que la solution nulle : c'est ce que le cours appelle des « solutions sans intérêt ». Toutes les valeurs propres sont positives, et elles tendent vers $+ \infty$ . Ces propriétés ne sont pas des accidents : elles découlent du caractère auto-adjoint de l'opérateur $- \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ avec ces conditions, étudié au chapitre 10. On utilisera aussi $\int_{0}^{L} sin^{2} \frac{nπ x}{L} d x = \int_{0}^{L} cos^{2} \frac{nπ x}{L} d x = \frac{L}{2}$ ( $n \geq 1$ ).

9.3 L'équation de Laplace dans un rectangle

9.3.1 Résolution complète

Une plaque mince rectangulaire $[0, a] \times [0, b]$ , isolée sur ses faces, atteint un équilibre thermique ; trois côtés sont maintenus à $0$ , le côté supérieur à une température donnée $g (x)$ :

$Δ u = 0 dans] 0, a [\times] 0, b [, u (0, y) = u (a, y) = 0, u (x, 0) = 0, u (x, b) = g (x) .$

Séparation. Avec $u = X (x) Y (y)$ : $X^{''} Y + X Y^{''} = 0$ , donc $\frac{X ^{''}}{X} = - \frac{Y ^{''}}{Y} = - μ$ . Les conditions homogènes donnent $X (0) = X (a) = 0$ et $Y (0) = 0$ ; la condition $u (x, b) = g (x)$ ne se sépare pas : on la garde pour la fin.

Valeurs propres en $x$ . Par la proposition 9.1, $μ_{n} = (\frac{nπ}{a})^{2}$ , $X_{n} = sin \frac{nπ x}{a}$ , $n \geq 1$ .

Équation en $y$ . $Y^{''} = (\frac{nπ}{a})^{2} Y$ avec $Y (0) = 0$ : $Y_{n} = sh \frac{nπ y}{a}$ (à un facteur près).

Superposition. On cherche

$u (x, y) = n \geq 1 \sum B_{n} sin \frac{nπ x}{a} sh \frac{nπ y}{a} .$

Condition restante. En $y = b$ : $g (x) = \sum_{n} B_{n} sh \frac{nπ b}{a} sin \frac{nπ x}{a}$ . C'est le développement de $g$ en série de sinus sur $[0, a]$ (série de Fourier du prolongement impair de $g$ , de période $2 a$ , chapitre 3). Par orthogonalité, en multipliant par $sin \frac{mπ x}{a}$ et en intégrant,

$B_{n} sh \frac{nπ b}{a} = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} g (x) sin \frac{nπ x}{a} d x d’o u ˋ u (x, y) = n \geq 1 \sum g_{n} \frac{sh ( nπ y / a )}{sh ( nπ b / a )} sin \frac{nπ x}{a},$

où $g_{n} = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} g (x) sin \frac{nπ x}{a} d x$ sont les coefficients de Fourier en sinus de $g$ .

◆Théorème 9.2Solution du problème de Dirichlet dans un rectangle

Soit $g$ continue sur $[0, a]$ , avec $g (0) = g (a) = 0$ , et de classe $C^{1}$ par morceaux. Alors la série ci-dessus converge, sa somme $u$ est de classe $C^{\infty}$ dans $] 0, a [\times] 0, b [$ , harmonique, continue sur le rectangle fermé, et vérifie les quatre conditions aux limites. C'est l'unique solution (corollaire 8.11).

Idée de la preuve

Pour $0 \leq y \leq b - δ$ , on a $0 \leq \frac{sh ( nπ y / a )}{sh ( nπ b / a )} \leq 2 e^{- nπ δ / a}$ dès que $nπ b / a \geq 1$ , et $∣ g_{n} ∣ \leq \frac{2}{a} \int_{0}^{a} ∣ g ∣$ . Les termes de la série, ainsi que ceux des séries de dérivées de tous ordres (qui ne font apparaître que des facteurs polynomiaux en $n$ ), sont dominés par $C n^{k} e^{- nπ δ / a}$ , terme général d'une série convergente. Le corollaire 1.25 (pour la mesure de comptage) et le théorème 1.28 autorisent alors la dérivation terme à terme (section 9.9) : $u$ est $C^{\infty}$ et $Δ u = \sum_{n} (\dots) (- (\frac{nπ}{a})^{2} + (\frac{nπ}{a})^{2}) = 0$ . Sur le côté $y = b$ , les hypothèses sur $g$ assurent la convergence uniforme de sa série de sinus (chapitre 3), ce qui donne la continuité jusqu'au bord.

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