EDP : position du problème et classification

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 8 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La température dans un mur, la déformée d'une membrane, la pression dans un sol saturé, l'onde qui parcourt un câble : chacune de ces grandeurs dépend de plusieurs variables (l'espace, le temps) et obéit à une loi locale qui relie ses dérivées partielles. Cette loi est une équation aux dérivées partielles (EDP). Mais l'équation seule ne détermine rien : une même équation de la chaleur décrit un mur isolé et un mur exposé au soleil. Ce qui distingue les deux situations, ce sont les conditions aux limites et les conditions initiales. Écrire un problème d'EDP, c'est écrire l'équation et ces conditions, en nombre juste : trop peu, la solution n'est pas unique ; trop, il n'y en a pas.

Ce chapitre pose le cadre. Il présente les grandes équations de l'ingénieur, le laplacien dans les systèmes de coordonnées usuels, les types de conditions aux limites, la notion de problème bien posé au sens de Hadamard, puis la classification des EDP linéaires du second ordre en trois familles — elliptiques, paraboliques, hyperboliques — qui n'ont ni les mêmes propriétés, ni les mêmes conditions aux limites, ni les mêmes méthodes de résolution. La résolution proprement dite commence au chapitre 9.

Repère historique

D'Alembert écrit en 1747 l'équation de la corde vibrante et sa solution par ondes progressives ; Euler et Daniel Bernoulli en débattent pendant vingt ans. Laplace étudie vers 1782 l'équation du potentiel qui porte son nom, et Fourier publie en 1822 sa Théorie analytique de la chaleur, où il établit l'équation de la chaleur et invente pour la résoudre les séries qui portent son nom. Jacques Hadamard dégage en 1902 la notion de problème bien posé ; la classification en types elliptique, parabolique et hyperbolique, issue de la théorie des coniques, s'impose au début du XX^e siècle avec les travaux de Hadamard, Hilbert et Courant.

8.1 Vocabulaire

Définition — Équation aux dérivées partielles

Une équation aux dérivées partielles est une relation entre une fonction inconnue $u$ de plusieurs variables $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , ces variables et un nombre fini de dérivées partielles de $u$ :

$F (x, u, \frac{\partial u}{\partial x _{1}}, \dots, \frac{\partial u}{\partial x _{n}}, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x _{1}^{2}}, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x _{1} \partial x _{2}}, \dots) = 0.$

L'ordre de l'équation est l'ordre le plus élevé des dérivées qui y figurent.
L'équation est linéaire si $F$ est affine par rapport à $u$ et à toutes ses dérivées : elle s'écrit $P u = d$ , où $P$ est un opérateur différentiel linéaire (ses coefficients peuvent dépendre de $x$ ) et $d$ une fonction donnée.
Une équation linéaire est homogène si $d = 0$ ; $d$ est le second membre (ou terme source).

Une équation différentielle ordinaire ne fait intervenir qu'une variable ; l'équation d'Airy $u^{''} (x) + x u (x) = 0$ est linéaire, homogène, d'ordre $2$ . Dans ce livre, on note les dérivées partielles $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}$ , $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}}$ . On rencontre aussi $u_{x}^{'}$ , $u_{x y}^{''}$ , $u_{t^{2}}^{''}$ , ou, dans les ouvrages plus avancés, $u_{, x}$ , $u_{, x y}$ ; on évite en revanche d'écrire $u_{x}$ , qui désigne d'ordinaire la composante suivant $x$ d'un vecteur $u$ . Lorsque la fonction est de classe $C^{2}$ , le théorème de Schwarz assure $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y \partial x}$ ; c'est pourquoi on n'écrit qu'un seul terme croisé.

Exemple 8.1Ordre, linéarité, homogénéité

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = 0$ : ordre $2$ , linéaire, homogène.
$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ (équation de Burgers sans viscosité) : ordre $1$ , non linéaire à cause du produit $u \frac{\partial u}{\partial x}$ .
$\frac{\partial u}{\partial t} - κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = sin x$ : ordre $2$ , linéaire, non homogène.
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} - (\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y})^{2} = 1$ (équation de Monge–Ampère) : ordre $2$ , non linéaire.

Proposition 8.2Principe de superposition

Si $u_{1}$ et $u_{2}$ sont solutions de l'équation linéaire homogène $P u = 0$ , toute combinaison $a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2}$ l'est aussi. Si $u_{p}$ est une solution de $P u = d$ , les solutions de $P u = d$ sont exactement les $u_{p} + v$ , avec $P v = 0$ .

Démonstration

Par linéarité, $P (a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2}) = a_{1} P u_{1} + a_{2} P u_{2} = 0$ . De même, $P u = d$ équivaut à $P (u - u_{p}) = 0$ .

Ce principe est le ressort de toutes les méthodes des chapitres suivants : on construit des solutions élémentaires, puis on les additionne — en nombre fini, ou en série, et c'est alors que les théorèmes d'interversion du chapitre 1 deviennent indispensables.

8.2 Les grandes équations de l'ingénieur

8.2.1 Le laplacien

Définition — Laplacien

Pour $u$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert de $R^{n}$ , le laplacien de $u$ est

$Δ u = i = 1 \sum n \frac{\partial ^{2} u}{\partial x _{i}^{2}} = div (\nabla u) .$

Une fonction telle que $Δ u = 0$ est dite harmonique.

Le laplacien mesure l'écart entre la valeur de $u$ en un point et sa moyenne sur une petite sphère centrée en ce point : $Δ u (x) > 0$ signifie que $u (x)$ est inférieure à la moyenne de ses voisines. C'est pourquoi il apparaît dans toutes les lois de diffusion et d'équilibre.

Les géométries de l'ingénieur (tuyaux, réservoirs, puits) conduisent souvent à des coordonnées non cartésiennes. Les formules suivantes s'obtiennent par le calcul de dérivation des fonctions composées ; on les a vérifiées par calcul formel sur des fonctions test.

Proposition 8.3Laplacien en coordonnées usuelles

Cartésiennes $(x, y, z)$ : $Δ u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial z ^{2}}$ .
Polaires $(r, θ)$ dans le plan, et cylindriques $(r, θ, z)$ avec $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ :

$Δ u = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial θ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial z ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial θ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial z ^{2}} .$

Sphériques $(r, θ, φ)$ avec $x = r sin θ cos φ$ , $y = r sin θ sin φ$ , $z = r cos θ$ :

$Δ u = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r ^{2} sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{r ^{2} sin ^{2} θ} \frac{\partial ^{2} u}{\partial φ ^{2}} .$

Exemple 8.4Fonctions harmoniques radiales

Cherchons les fonctions harmoniques qui ne dépendent que de $r$ .

Dans le plan : $\frac{1}{r} (r u^{'})^{'} = 0$ donne $r u^{'} = A$ , donc $u (r) = A ln r + B$ .
Dans l'espace : $\frac{1}{r ^{2}} (r^{2} u^{'})^{'} = 0$ donne $r^{2} u^{'} = A$ , donc $u (r) = - \frac{A}{r} + B$ .

Le potentiel $1/ r$ d'une charge ponctuelle, et le profil logarithmique de la pression autour d'un puits en nappe captive, sont de ce type.

8.2.2 Quatre équations

Définition — Les équations classiques

Soit $Ω \subset R^{n}$ un ouvert, $t$ le temps, $u$ l'inconnue.

Équation de Laplace $Δ u = 0$ et équation de Poisson $- Δ u = f$ : états d'équilibre (température stationnaire, potentiel électrique, déformée d'une membrane tendue sous une charge $f$ , charge hydraulique d'un écoulement en milieu poreux).
Équation de la chaleur (ou de diffusion) $\frac{\partial u}{\partial t} - κ Δ u = S$ , avec $κ > 0$ la diffusivité et $S$ une source : évolution d'une température, d'une concentration, de la surpression interstitielle dans un sol qui se consolide.
Équation des ondes $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} Δ u = 0$ , avec $c > 0$ la célérité : cordes, membranes, ondes acoustiques et sismiques.
Équation de Helmholtz $Δ u + k^{2} u = f$ : ondes en régime harmonique.

D'où vient l'équation de la chaleur. Dans une barre de section constante, de masse volumique $ρ$ et de capacité thermique $c_{p}$ , notons $u (x, t)$ la température et $q (x, t)$ le flux de chaleur. Le bilan d'énergie sur une tranche $[x, x + h]$ s'écrit $ρ c_{p} \frac{\partial}{\partial t} \int_{x}^{x + h} u = q (x) - q (x + h)$ ; en divisant par $h$ et en faisant $h \to 0$ , $ρ c_{p} \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x}$ . La loi de Fourier $q = - k \frac{\partial u}{\partial x}$ ( $k$ conductivité) donne $\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ avec $κ = k / (ρ c_{p})$ . Le signe est essentiel : la chaleur va du chaud vers le froid, et une bosse de température ( $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} < 0$ ) s'affaisse ( $\frac{\partial u}{\partial t} < 0$ ). Pour l'acier, $κ \approx 1, 2 \cdot 1 0^{- 5} m^{2} /s$ ; pour le béton, $κ \approx 7 \cdot 1 0^{- 7} m^{2} /s$ .

D'où vient l'équation des ondes. Pour une corde de tension $T$ et de masse linéique $ρ_{ℓ}$ , la loi fondamentale de la dynamique appliquée à un petit élément, pour de petites déformations $u (x, t)$ , donne $ρ_{ℓ} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = T \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ , soit $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = 0$ avec $c = T / ρ_{ℓ}$ .

D'où vient l'équation de Helmholtz. Si l'on cherche une solution de l'équation des ondes oscillant à la pulsation $ω$ , de la forme $u (x, t) = v (x) cos (ω t)$ , on trouve $Δ v + k^{2} v = 0$ avec $k = ω / c$ (nombre d'onde).

8.3 Conditions aux limites et conditions initiales

Définition — Conditions aux limites, conditions initiales

Soit $Ω$ un ouvert de bord $\partial Ω$ , et $n$ la normale unitaire sortante sur $\partial Ω$ ; on note $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot n$ la dérivée normale. Une condition aux limites est une relation imposée sur $\partial Ω$ :

Dirichlet (condition essentielle) : $u = g$ sur $\partial Ω$ (température imposée, membrane fixée) ;
Neumann (condition naturelle) : $\frac{\partial u}{\partial n} = h$ sur $\partial Ω$ (flux imposé ; $h = 0$ : paroi isolante) ;
Robin (ou de Fourier, mixte) : $\frac{\partial u}{\partial n} + α u = g$ sur $\partial Ω$ , $α > 0$ (échange convectif avec le milieu extérieur, loi de refroidissement de Newton).

Pour une équation d'évolution, une condition initiale fixe l'état à $t = 0$ : $u (x, 0) = u_{0} (x)$ pour la chaleur ; $u (x, 0) = u_{0} (x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = u_{1} (x)$ (position et vitesse) pour les ondes.

Une condition peut être de Dirichlet sur une partie du bord et de Neumann sur une autre : un mur dont une face est à température imposée et l'autre isolée. Un problème aux limites complet regroupe l'équation dans $Ω$ , les conditions aux limites sur $\partial Ω$ et, s'il y a lieu, les conditions initiales.

Exemple 8.5Membrane rectangulaire

Une membrane occupe $[0, A] \times [0, B]$ ; elle est fixée sur les côtés verticaux et libre de glisser sur les côtés horizontaux ; elle part au repos d'une position $u_{0}$ . Le problème s'écrit :

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} (\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}) = 0, u (0, y, t) = u (A, y, t) = 0, \frac{\partial u}{\partial y} (x, 0, t) = \frac{\partial u}{\partial y} (x, B, t) = 0, u (x, y, 0) = u_{0} (x, y), \frac{\partial u}{\partial t} (x, y, 0) = 0, 0 < x < A, 0 < y < B, t > 0, 0 \leq y \leq B, t \geq 0 (Dirichlet), 0 \leq x \leq A, t \geq 0 (Neumann), 0 \leq x \leq A, 0 \leq y \leq B .$

Chaque condition est quantifiée : « pour tout $y$ », « pour tout $t$ ». Ce « pour tout » est ce qui permettra, au chapitre 9, de séparer les conditions.

Exemple 8.6Un mur exposé au vent

Un mur d'épaisseur $e$ (abscisse $0 \leq x \leq e$ ) sépare une pièce chauffée à température constante $T_{i}$ de l'extérieur, où l'air est à $T_{e}$ . Sur la face intérieure, on impose $u (0, t) = T_{i}$ (Dirichlet). Sur la face extérieure, le flux qui traverse le mur, $- k \frac{\partial u}{\partial x} (e, t)$ , est évacué par convection selon la loi de Newton $h (u (e, t) - T_{e})$ , où $h$ est le coefficient d'échange (d'autant plus grand que le vent est fort). On obtient la condition de Robin

$k \frac{\partial u}{\partial x} (e, t) + h u (e, t) = h T_{e} .$

Les cas limites sont instructifs : $h \to + \infty$ redonne la condition de Dirichlet $u (e, t) = T_{e}$ (paroi à la température de l'air), et $h = 0$ la condition de Neumann $\frac{\partial u}{\partial x} (e, t) = 0$ (paroi parfaitement isolée).

Compter les conditions

Pour une équation différentielle ordinaire d'ordre $n$ , il faut $n$ conditions. Pour une EDP, la règle est plus subtile, mais on retient : une condition sur chaque partie du bord pour une équation d'ordre $2$ en espace ; autant de conditions initiales que l'ordre de la dérivée en temps (une pour la chaleur, deux pour les ondes). Une condition de trop peut rendre le problème impossible ; une de moins le rend indéterminé.

Exemple 8.7Problème de Neumann : ni existence ni unicité garanties

Considérons $- Δ u = f$ dans $Ω$ , $\frac{\partial u}{\partial n} = h$ sur $\partial Ω$ .

Unicité : si $u$ est solution, $u + C$ l'est aussi pour toute constante $C$ . La solution est au mieux unique à une constante près.
Existence : par la formule de la divergence, $\int_{Ω} Δ u = \int_{\partial Ω} \frac{\partial u}{\partial n}$ , donc une solution ne peut exister que si $- \int_{Ω} f = \int_{\partial Ω} h$ . Physiquement : en régime stationnaire, la chaleur produite à l'intérieur doit sortir par le bord.

La suite du cours est sur Adloun

Le chapitre en entier, formules et figures comprises, avec le tuteur, les fiches, les QCM et les exercices.

Lire la suite du cours

En accès libre, sans inscription.

Exercices corrigés de ce chapitre

Lire la suite du cours →