Barre isolée — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Barre isolée

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

Une barre de longueur $1$ , isolée à ses deux extrémités, a la température initiale $u_{0} (x) = x$ :

$\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial u}{\partial x} (0, t) = \frac{\partial u}{\partial x} (1, t) = 0, u (x, 0) = x .$

Écrire le problème aux valeurs propres associé et le résoudre.
Résoudre par la méthode modale.
Quelle est la limite de $u (x, t)$ quand $t \to + \infty$ ? L'interpréter.

Corrigé

$- φ^{''} = μ φ$ , $φ^{'} (0) = φ^{'} (1) = 0$ : d'après l'exemple 10.10, $μ_{n} = n^{2} π^{2}$ , $φ_{n} = cos (nπ x)$ , $n \in N$ , avec $∥ φ_{0} ∥^{2} = 1$ et $∥ φ_{n} ∥^{2} = \frac{1}{2}$ pour $n \geq 1$ .
Les équations modales sont $q_{n}^{'} + κ n^{2} π^{2} q_{n} = 0$ , donc $q_{n} (t) = q_{n} (0) e^{- κ n^{2} π^{2} t}$ , avec

$q_{0} (0) = \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}, q_{n} (0) = 2 \int_{0}^{1} x cos (nπ x) d x = \frac{2 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{n ^{2} π ^{2}} (n \geq 1),$

soit $- \frac{4}{n ^{2} π ^{2}}$ pour $n$ impair et $0$ pour $n$ pair :

$u (x, t) = \frac{1}{2} - n impair \sum \frac{4}{n ^{2} π ^{2}} cos (nπ x) e^{- κ n^{2} π^{2} t} .$

La série converge normalement pour $t \geq 0$ ( $\sum 1/ n^{2} < + \infty$ ).

$u (x, t) \to \frac{1}{2}$ uniformément : la barre isolée conserve son énergie thermique, et la température s'uniformise à sa valeur moyenne initiale $\int_{0}^{1} u_{0} = \frac{1}{2}$ . C'est le mode $n = 0$ , de valeur propre nulle, qui porte cette moyenne.