Conditions périodiques — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Conditions périodiques

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

On considère $- φ^{''} = μ φ$ sur $] 0, L [$ avec les conditions périodiques $φ (0) = φ (L)$ et $φ^{'} (0) = φ^{'} (L)$ .

Montrer que l'opérateur est symétrique.
Déterminer les valeurs propres et les modes. Montrer qu'elles sont doubles, sauf une.
Pourquoi ce résultat ne contredit-il pas la proposition 10.4 ?

Le terme de bord $[u v^{'} - u^{'} v]_{0}^{L}$ est nul car $u$ , $u^{'}$ , $v$ , $v^{'}$ prennent les mêmes valeurs en $0$ et $L$ .
Si $μ = - ω^{2} < 0$ , $φ = A ch ω x + B sh ω x$ et les deux conditions forment un système de déterminant $2 (1 - ch ω L) \neq = 0$ : pas de mode. Si $μ = 0$ : $φ = A + B x$ , la première condition donne $B = 0$ ; les constantes sont des modes. Si $μ = ω^{2} > 0$ : avec $φ = A cos ω x + B sin ω x$ , le système a pour déterminant $2 (1 - cos ω L)$ , nul si et seulement si $ω L = 2 nπ$ . Alors toutes les fonctions $A cos \frac{2 nπ x}{L} + B sin \frac{2 nπ x}{L}$ conviennent : $μ_{n} = (\frac{2 nπ}{L})^{2}$ est double pour $n \geq 1$ , simple pour $n = 0$ .
Les conditions périodiques relient les deux extrémités : elles ne sont pas séparées, et l'argument du wronskien (qui utilise une condition en un seul point) ne s'applique pas. La symétrie, elle, demeure : valeurs propres réelles et modes orthogonaux.