Corde pincée au quart — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Corde pincée au quart

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

Une corde de longueur $1$ et de célérité $c$ est lâchée sans vitesse depuis la position triangulaire de hauteur $h$ dont le sommet est en $x = a$ , avec $0 < a < 1$ : $u_{0} (x) = h x / a$ sur $[0, a]$ , $h (1 - x) / (1 - a)$ sur $[a, 1]$ .

Calculer les coordonnées modales initiales et en déduire $u (x, t)$ .
Pour $a = \frac{1}{4}$ , quels modes sont absents ? Pourquoi ?

Corrigé

Les modes sont $sin (nπ x)$ , de norme carrée $\frac{1}{2}$ , et $q_{n} (t) = q_{n} (0) cos (nπ c t)$ puisque la vitesse initiale est nulle. Un calcul par intégration par parties sur $[0, a]$ et $[a, 1]$ donne

$q_{n} (0) = 2 \int_{0}^{1} u_{0} (x) sin (nπ x) d x = \frac{2 h sin ( nπ a )}{n ^{2} π ^{2} a ( 1 - a )},$

d'où

$u (x, t) = n \geq 1 \sum \frac{2 h sin ( nπ a )}{n ^{2} π ^{2} a ( 1 - a )} cos (nπ c t) sin (nπ x) .$

Pour $a = \frac{1}{2}$ on retrouve l'exemple 10.21.

Pour $a = \frac{1}{4}$ , $sin \frac{nπ}{4} = 0$ si et seulement si $n$ est multiple de $4$ : les modes $4, 8, 12, \dots$ sont absents. Ce sont exactement ceux qui ont un nœud au point de pincement : un mode nul au point d'excitation ne peut pas être excité en ce point.