Corde soumise à une charge périodique — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Corde soumise à une charge périodique

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

Une corde de longueur $1$ , de célérité $c$ , fixée à ses extrémités et initialement au repos, est soumise à une force répartie uniforme $F (x, t) = f_{0} cos (Ω t)$ : $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = f_{0} cos (Ω t)$ .

Calculer les composantes modales $f_{n}$ de la force. Quels modes sont excités ?
On suppose $Ω \neq = ω_{n}$ pour tout $n$ . Résoudre l'équation modale avec $q_{n} (0) = q_{n}^{'} (0) = 0$ .
Pour quelles pulsations $Ω$ y a-t-il résonance ?

Corrigé

Avec $φ_{n} = sin (nπ x)$ , $∥ φ_{n} ∥^{2} = \frac{1}{2}$ : $f_{n} = 2 f_{0} \int_{0}^{1} sin (nπ x) d x = \frac{2 f _{0} ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{nπ}$ , soit $\frac{4 f _{0}}{nπ}$ pour $n$ impair et $0$ pour $n$ pair. Une charge uniforme, symétrique par rapport au milieu, n'excite que les modes symétriques ( $n$ impair).
$q_{n}^{''} + ω_{n}^{2} q_{n} = f_{n} cos (Ω t)$ avec $ω_{n} = nπ c$ . La solution nulle avec sa dérivée en $0$ est

$q_{n} (t) = \frac{f _{n}}{ω _{n}^{2} - Ω ^{2}} (cos (Ω t) - cos (ω_{n} t)),$

et $u = \sum_{n impair} q_{n} (t) sin (nπ x)$ .

Il y a résonance si $Ω = ω_{n}$ pour un $n$ impair, soit $Ω = nπ c$ , $n$ impair : alors $q_{n} = \frac{f _{n}}{2 ω _{n}} t sin (ω_{n} t)$ n'est pas bornée. Pour $Ω = 2 π c$ , mode pair non excité, il n'y a pas de résonance.