Membranes

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

Membrane carrée de côté $a$ fixée au bord : quelle est la multiplicité de la valeur propre $50 π^{2} / a^{2}$ ? Donner des modes associés.
Membrane circulaire de rayon $R$ : les fréquences de ses modes symétriques sont proportionnelles aux zéros $j_{0, n}$ de $J_{0}$ . Calculer les rapports $j_{0, 2} / j_{0, 1}$ et $j_{0, 3} / j_{0, 1}$ et commenter.

$μ_{mn} = \frac{π ^{2}}{a ^{2}} (m^{2} + n^{2})$ et $50 = 1 + 49 = 49 + 1 = 25 + 25$ : les couples $(1, 7)$ , $(7, 1)$ , $(5, 5)$ donnent une valeur propre triple, de modes $sin \frac{π x}{a} sin \frac{7 π y}{a}$ , $sin \frac{7 π x}{a} sin \frac{π y}{a}$ et $sin \frac{5 π x}{a} sin \frac{5 π y}{a}$ .
Avec $j_{0, 1} \approx 2, 4048$ , $j_{0, 2} \approx 5, 5201$ , $j_{0, 3} \approx 8, 6537$ : $j_{0, 2} / j_{0, 1} \approx 2, 295$ et $j_{0, 3} / j_{0, 1} \approx 3, 599$ . Ces rapports ne sont pas entiers, à la différence de ceux de la corde ( $2$ , $3$ , …) : le son d'une membrane n'est pas harmonique.

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