Mise sous forme de Sturm--Liouville — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Mise sous forme de Sturm--Liouville

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

On considère l'équation $x^{2} y^{''} + x y^{'} + μ y = 0$ sur $] 1, e [$ , avec $y (1) = y (e) = 0$ .

Mettre l'équation sous la forme $- (p y^{'})^{'} + q y = μ w y$ et préciser $p$ , $q$ , $w$ . Le problème est-il régulier ?
À l'aide du changement de variable $s = ln x$ , déterminer les valeurs propres et les modes.
Vérifier directement que les modes sont orthogonaux pour le poids $w$ .

On divise par $x$ : $x y^{''} + y^{'} + \frac{μ}{x} y = 0$ , soit $(x y^{'})^{'} + \frac{μ}{x} y = 0$ , c'est-à-dire $- (x y^{'})^{'} = μ \frac{1}{x} y$ . Ainsi $p (x) = x$ , $q = 0$ , $w (x) = \frac{1}{x}$ ; $p$ et $w$ sont $> 0$ et réguliers sur $[1, e]$ : le problème est régulier. (On retrouve la méthode : ici $ρ = \frac{1}{x ^{2}} exp \int \frac{x}{x ^{2}} = \frac{1}{x}$ .)
Avec $s = ln x$ et $z (s) = y (e^{s})$ : $x y^{'} = z^{'} (s)$ et $x (x y^{'})^{'} = z^{''} (s)$ , donc l'équation devient $z^{''} + μ z = 0$ sur $] 0, 1 [$ , avec $z (0) = z (1) = 0$ . D'où $μ_{n} = n^{2} π^{2}$ et $y_{n} (x) = sin (nπ ln x)$ , $n \in N^{*}$ . On vérifie : pour $y = sin (μ ln x)$ , $x^{2} y^{''} + x y^{'} = - μ y$ .
$\int_{1}^{e} sin (nπ ln x) sin (mπ ln x) \frac{d x}{x} = \int_{0}^{1} sin (nπ s) sin (mπ s) d s = \frac{1}{2} δ_{nm}$ , par le changement $s = ln x$ , $d s = d x / x$ : le poids $w = 1/ x$ est exactement celui qui rend les modes orthogonaux.