Mur chauffé des deux côtés — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Mur chauffé des deux côtés

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

Un mur d'épaisseur $1$ , initialement à température nulle, voit ses deux faces portées et maintenues à la température $T_{1}$ à partir de $t = 0$ ( $κ = 1$ ) : $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ , $u (0, t) = u (1, t) = T_{1}$ , $u (x, 0) = 0$ .

Relever les conditions aux limites et résoudre par la méthode modale.
Montrer que, pour $t$ assez grand, $T_{1} - u (\frac{1}{2}, t) \approx \frac{4 T _{1}}{π} e^{- π^{2} t}$ , et en déduire le temps au bout duquel le milieu du mur atteint $99 %$ de $T_{1}$ .

Corrigé

La solution stationnaire est la constante $T_{1}$ . Posons $u = T_{1} + v$ : $v$ vérifie l'équation de la chaleur, $v (0, t) = v (1, t) = 0$ et $v (x, 0) = - T_{1}$ . Le développement de $- T_{1}$ sur les modes $sin (nπ x)$ est (exemple 10.7) $- T_{1} \sum_{n impair} \frac{4}{nπ} sin (nπ x)$ , et les équations modales $q_{n}^{'} + n^{2} π^{2} q_{n} = 0$ donnent

$u (x, t) = T_{1} - \frac{4 T _{1}}{π} n impair \sum \frac{1}{n} e^{- n^{2} π^{2} t} sin (nπ x) .$

En $x = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{nπ}{2} = (- 1)^{(n - 1) /2}$ pour $n$ impair : $T_{1} - u (\frac{1}{2}, t) = \frac{4 T _{1}}{π} (e^{- π^{2} t} - \frac{1}{3} e^{- 9 π^{2} t} + \dots)$ . Dès que $t$ n'est pas trop petit, le premier terme domine (le rapport du second au premier vaut $\frac{1}{3} e^{- 8 π^{2} t}$ , soit environ $1, 2 \times 1 0^{- 4}$ dès $t = 0, 1$ ). La condition $\frac{4}{π} e^{- π^{2} t} = 0, 01$ donne $t = \frac{1}{π ^{2}} ln \frac{400}{π} \approx 0, 491$ (en unités réduites, c'est-à-dire $t \approx 0, 491 L^{2} / κ$ ).