Poutre console — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Poutre console

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

On reprend l'équation d'Euler--Bernoulli sur $[0, L]$ pour une poutre encastrée en $x = 0$ ( $u = \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ ) et libre en $x = L$ ( $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{3} u}{\partial x ^{3}} = 0$ ).

Montrer que les pulsations propres vérifient $cos (β L) ch (β L) = - 1$ .
Calculer numériquement $β_{1} L$ et $β_{2} L$ , et le rapport des deux premières fréquences.
Montrer que $β_{n} L - (2 n - 1) \frac{π}{2} \to 0$ .

Corrigé

C'est le calcul de l'exemple 10.27 : après $A + C = 0$ , $B + D = 0$ , les conditions $U^{''} (L) = U^{'''} (L) = 0$ s'écrivent

${A (cos β L + ch β L) + B (sin β L + sh β L) = 0, A (sin β L - sh β L) - B (cos β L + ch β L) = 0,$

dont le déterminant vaut $- 2 (1 + cos β L ch β L)$ . Un mode non nul existe si et seulement s'il est nul.

Méthode de Brent sur $g (b) = cos b ch b + 1$ dans $[1; 2, 5]$ et $[4; 5, 5]$ : $β_{1} L \approx 1, 8751$ , $β_{2} L \approx 4, 6941$ . Les fréquences étant proportionnelles à $β^{2}$ , leur rapport vaut $(4, 6941/1, 8751)^{2} \approx 6, 27$ (contre $4$ pour les appuis simples).
L'équation s'écrit $cos (β L) = - 1/ ch (β L)$ . Sur chaque intervalle où $cos$ change de signe, il y a une racine, et $∣ cos β_{n} L ∣ \leq 1/ ch (β_{n} L) \to 0$ ; par continuité de $arccos$ , $β_{n} L$ se rapproche du zéro de $cos$ voisin, $(2 n - 1) \frac{π}{2}$ . Déjà $β_{3} L - \frac{5 π}{2} \approx 8 \times 1 0^{- 4}$ .