Poutre sur deux appuis — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Poutre sur deux appuis

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

On étudie les vibrations transversales d'une poutre d'Euler--Bernoulli $ρS \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} + E I \frac{\partial ^{4} u}{\partial x ^{4}} = 0$ sur $[0, L]$ , simplement appuyée à ses deux extrémités : $u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = 0$ en $x = 0$ et $x = L$ .

On cherche $u = U (x) F (t)$ avec $F$ périodique non nulle. Montrer que $F^{''} + ω^{2} F = 0$ et $U^{''''} = β^{4} U$ avec $β^{4} = ρS ω^{2} / (E I)$ .
Déterminer les modes et les pulsations propres.
Écrire la solution générale par la méthode modale, avec $u (x, 0) = u_{0} (x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = v_{0} (x)$ .

Corrigé

En reportant $u = U (x) F (t)$ : $ρS U F^{''} + E I U^{''''} F = 0$ , d'où, là où $U F \neq = 0$ , $\frac{E I}{ρS} \frac{U ^{''''}}{U} = - \frac{F ^{''}}{F}$ . Les deux membres, l'un fonction de $x$ , l'autre de $t$ , sont égaux à une même constante $ω^{2}$ ; elle est positive car $F$ est périodique non nulle (une constante négative donnerait des exponentielles, nulle une fonction affine). D'où $F^{''} + ω^{2} F = 0$ et $U^{''''} = β^{4} U$ .
C'est l'exemple 10.26 : $U_{n} = sin \frac{nπ x}{L}$ , $β_{n} = \frac{nπ}{L}$ , $ω_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2} E I / (ρS)$ .
L'opérateur est symétrique (proposition 10.25), les modes forment la base des sinus de $L^{2} (0, L)$ , et la méthode modale donne $q_{n}^{''} + ω_{n}^{2} q_{n} = 0$ , donc

$u (x, t) = n \geq 1 \sum (a_{n} cos (ω_{n} t) + \frac{b _{n}}{ω _{n}} sin (ω_{n} t)) sin \frac{nπ x}{L},$

avec $a_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} u_{0} (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ et $b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} v_{0} (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ .