Quotient de Rayleigh

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

On considère $- y^{''} = μ y$ sur $] 0, 1 [$ avec $y (0) = 0$ et $y^{'} (1) = 0$ .

Donner la plus petite valeur propre $μ_{1}$ (exercice 10.1).
Montrer que, pour $y \in C^{1}$ avec $y (0) = 0$ , le quotient $R (y) = \int_{0}^{1} ∣ y^{'} ∣^{2} / \int_{0}^{1} ∣ y ∣^{2}$ vaut $μ_{n}$ lorsque $y = φ_{n}$ (le terme de bord en $x = 1$ s'annule grâce à $y^{'} (1) = 0$ ).
Calculer $R (y)$ pour $y (x) = 2 x - x^{2}$ et comparer à $μ_{1}$ .

$μ_{1} = \frac{π ^{2}}{4} \approx 2, 4674$ , mode $sin \frac{π x}{2}$ .
Pour $φ_{n}$ : $\int_{0}^{1} ∣ φ_{n}^{'} ∣^{2} = [φ_{n}^{'} φ_{n}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} φ_{n}^{''} φ_{n} = 0 + μ_{n} \int_{0}^{1} ∣ φ_{n} ∣^{2}$ , le crochet étant nul car $φ_{n} (0) = 0$ et $φ_{n}^{'} (1) = 0$ .
$y^{'} = 2 - 2 x$ ; $\int_{0}^{1} (2 - 2 x)^{2} d x = \frac{4}{3}$ et $\int_{0}^{1} (2 x - x^{2})^{2} d x = \frac{8}{15}$ , donc $R (y) = \frac{4/3}{8/15} = \frac{5}{2} = 2, 5$ . C'est un majorant de $μ_{1}$ , avec une erreur relative de $1, 3 %$ . La fonction test vérifie $y (0) = 0$ et même $y^{'} (1) = 0$ , d'où la qualité de l'estimation.

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