Une condition de Robin — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 10)

Une condition de Robin

Problèmes aux valeurs propres et méthodes modales · niveau 2

Énoncé

On considère $- y^{''} = μ y$ sur $] 0, 1 [$ , avec $y^{'} (0) = 0$ et $y^{'} (1) + y (1) = 0$ .

Montrer que toutes les valeurs propres sont strictement positives.
Montrer que $μ = k^{2}$ ( $k > 0$ ) est valeur propre si et seulement si $k tan k = 1$ , et donner les modes.
Localiser graphiquement les solutions, puis calculer numériquement les trois premières. Vérifier numériquement l'orthogonalité des deux premiers modes.

Si $μ = 0$ : $y = A + B x$ , $y^{'} (0) = B = 0$ , puis $y^{'} (1) + y (1) = A = 0$ . Si $μ = - ω^{2} < 0$ : $y^{'} (0) = 0$ donne $y = A ch (ω x)$ et $y^{'} (1) + y (1) = A (ω sh ω + ch ω) = 0$ impose $A = 0$ , le facteur étant $> 0$ . Les valeurs propres (réelles, l'opérateur étant symétrique) sont donc $> 0$ .
Pour $μ = k^{2}$ : $y^{'} (0) = 0$ donne $y = A cos (k x)$ , et $y^{'} (1) + y (1) = A (- k sin k + cos k) = 0$ ; avec $A \neq = 0$ , et $cos k \neq = 0$ (sinon $sin k = 0$ aussi), cela équivaut à $k tan k = 1$ . Les modes sont $cos (k_{n} x)$ .
Les solutions sont les abscisses des intersections de $tan k$ avec $1/ k$ : une dans chaque intervalle $] nπ, nπ + \frac{π}{2} [$ , $n \in N$ . La méthode de Brent donne $k_{1} \approx 0, 8603$ , $k_{2} \approx 3, 4256$ , $k_{3} \approx 6, 4373$ , soit $μ_{n} = k_{n}^{2} \approx 0, 740$ , $11, 73$ , $41, 44$ . Numériquement, $\int_{0}^{1} cos (k_{1} x) cos (k_{2} x) d x \approx 2 \times 1 0^{- 14}$ .