Classer des équations intégrales — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Classer des équations intégrales

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

Pour chacune des équations suivantes, d'inconnue $u$ , préciser le type (Fredholm ou Volterra, première ou seconde espèce, homogène ou non), le noyau, et dire si ce noyau est de carré intégrable sur le carré correspondant.

$u (x) = sin x + \int_{0}^{π} cos (x - t) u (t) d t$ ;
$\int_{0}^{x} e^{x - t} u (t) d t = x^{2}$ ;
$u (x) = λ \int_{0}^{1} min (x, t) u (t) d t$ ;
$\int_{0}^{x} \frac{u ( t )}{x - t} d t = 1$ .

Corrigé

Fredholm de seconde espèce, non homogène ( $g = sin x$ , $λ = 1$ ), noyau $cos (x - t)$ , continu donc de carré intégrable sur $[0, π]^{2}$ . Il est séparable : $cos (x - t) = cos x cos t + sin x sin t$ .
Volterra de première espèce, non homogène, noyau de convolution $e^{x - t}$ , continu sur tout triangle borné.
Fredholm de seconde espèce homogène : problème aux valeurs caractéristiques. Noyau $min (x, t)$ , continu et symétrique sur $[0, 1]^{2}$ (c'est le noyau de Green de l'exercice 11.3).
Volterra de première espèce (équation d'Abel), noyau $K (x, t) = (x - t)^{- 1/2}$ pour $t < x$ . Il n'est pas de carré intégrable : $\int_{0}^{x} (x - t)^{- 1} d t = + \infty$ . Mais il est intégrable en $t$ ; la théorie de la section 11.4 s'applique.