D'un problème de Cauchy à une équation de Volterra — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

D'un problème de Cauchy à une équation de Volterra

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

Montrer que le problème $y^{''} - y = 0$ , $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ équivaut à une équation de Volterra de seconde espèce que l'on précisera.
Calculer les trois premières itérations de Picard en partant de $y_{0} = 1$ , et reconnaître la solution.

C'est la proposition 11.3 avec $q = - 1$ , $f = 0$ , $y_{0} = 1$ , $y_{1} = 0$ : $y (x) = 1 + \int_{0}^{x} (x - t) y (t) d t$ . Noyau $K (x, t) = x - t$ , $λ = 1$ .
$y_{1} = 1 + \int_{0}^{x} (x - t) d t = 1 + \frac{x ^{2}}{2}$ , $y_{2} = 1 + \int_{0}^{x} (x - t) (1 + \frac{t ^{2}}{2}) d t = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}$ , $y_{3} = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + \frac{x ^{6}}{720}$ (on utilise $\int_{0}^{x} (x - t) \frac{t ^{2 k}}{( 2 k )!} d t = \frac{x ^{2 k + 2}}{( 2 k + 2 )!}$ ). On reconnaît le début de $ch x = \sum \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!}$ , qui est bien la solution du problème de Cauchy.