Discussion selon le paramètre

Le noyau est séparable : $\sin (x+t)=\sin x\cos t+\cos x\sin t$. Posons $A={\int }_0^{\pi }u(t)\cos t\mathrm{d}t$ et $B={\int }_0^{\pi }u(t)\sin t\mathrm{d}t$ ; alors $u=\sin x-\cos x+\lambda (A\sin x+B\cos x)$. Avec ${\int }_0^{\pi }\sin t\cos t\mathrm{d}t=0$ et ${\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}t\mathrm{d}t={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}$, en reportant :

$$\{\begin{array}{l}A=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \lambda }{2}B,\\ B=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \lambda }{2}A,\end{array}\text{de deˊterminant}D=1-\frac{{\pi }^2{\lambda }^2}{4}.$$

• Si $\lambda \ne \pm \frac{2}{\pi }$ : $D\ne 0$, solution unique $A=-\frac{\pi }{2+\pi \lambda }$, $B=\frac{\pi }{2+\pi \lambda }$, et

$$u(x)=\frac{2}{2+\pi \lambda }(\sin x-\cos x).$$

• Si $\lambda =\frac{2}{\pi }$ : les deux équations se réduisent à $A=B-\frac{\pi }{2}$ ; infinité de solutions $u=\sin x-\cos x+\frac{2}{\pi }((B-\frac{\pi }{2})\sin x+B\cos x)=-\cos x+c(\sin x+\cos x)$, $c\in \mathbb{R}$.
• Si $\lambda =-\frac{2}{\pi }$ : le système est incompatible ; pas de solution.

Interprétation : les valeurs caractéristiques sont $\pm \frac{2}{\pi }$, de fonctions propres $\sin x+\cos x$ (pour $\frac{2}{\pi }$) et $\sin x-\cos x$ (pour $-\frac{2}{\pi }$), comme on le vérifie sur l'équation homogène. Le noyau est réel et symétrique, l'équation adjointe est donc la même. Pour $\lambda =\frac{2}{\pi }$, $g=\sin x-\cos x$ est orthogonal à $\sin x+\cos x$ sur $[0,\pi ]$ (${\int }_0^{\pi }({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=0$) : solutions, en nombre infini. Pour $\lambda =-\frac{2}{\pi }$, ${\int }_0^{\pi }(\sin x-\cos x{)}^2\mathrm{d}x=\pi \ne 0$ : pas de solution.