Équation d'Abel — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Équation d'Abel

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

Calculer la transformée de Laplace de $t \mapsto t^{- α}$ , $0 < α < 1$ , à l'aide de la fonction $Γ$ .
Résoudre $\int_{0}^{x} \frac{u ( t )}{x - t} d t = x^{2}$ et vérifier.
Même question avec un second membre constant égal à $1$ (la formule de la proposition 11.10 ne s'applique pas telle quelle : pourquoi ? Utiliser directement la transformée de Laplace).

Pour $p > 0$ , le changement $s = pt$ donne $\int_{0}^{+ \infty} t^{- α} e^{- pt} d t = p^{α - 1} \int_{0}^{+ \infty} s^{- α} e^{- s} d s = Γ (1 - α) p^{α - 1}$ .
Ici $α = \frac{1}{2}$ , $g (x) = x^{2}$ , de classe $C^{1}$ avec $g (0) = 0$ . Comme $\int_{0}^{x} \frac{t ^{2}}{x - t} d t = \frac{16}{15} x^{5/2}$ , la formule d'Abel donne $u (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{5}{2} x^{3/2} = \frac{8}{3 π} x^{3/2}$ . Vérification : $\int_{0}^{x} \frac{t ^{3/2}}{x - t} d t = \frac{3 π}{8} x^{2}$ , donc $\int_{0}^{x} \frac{u ( t )}{x - t} d t = x^{2}$ .
$g = 1$ ne s'annule pas en $0$ : la dérivation $p L [h] = L [h^{'}]$ de la preuve n'est plus valable. Directement : $Γ (\frac{1}{2}) p^{- 1/2} U = \frac{1}{p}$ , donc $U = \frac{1}{π} p^{- 1/2} = \frac{1}{π} \cdot \frac{L [ t ^{- 1/2} ]}{Γ ( \frac{1}{2} )}$ et $u (x) = \frac{1}{π x}$ . Vérification : $\int_{0}^{x} \frac{d t}{π t x - t} = \frac{1}{π} \cdot π = 1$ . La solution n'est pas bornée en $0$ , mais elle est intégrable.