Nyström avec la règle de Simpson — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Nyström avec la règle de Simpson

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

On considère $u (x) = x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x t u (t) d t$ sur $[0, 1]$ .

Résoudre exactement (noyau séparable).
Appliquer la méthode de Nyström avec la règle de Simpson à trois nœuds $0$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ (poids $\frac{1}{6}$ , $\frac{4}{6}$ , $\frac{1}{6}$ ). Montrer que l'on obtient la solution exacte aux nœuds, et expliquer pourquoi.

Avec $c = \int_{0}^{1} t u$ : $u = x + \frac{c}{2} x$ , puis $c = \frac{1}{3} + \frac{c}{6}$ , donc $c = \frac{2}{5}$ et $u (x) = \frac{6}{5} x$ .
Nœuds $t = 0, \frac{1}{2}, 1$ , poids $\frac{1}{6}, \frac{4}{6}, \frac{1}{6}$ . Le système $u_{i} - \frac{1}{2} \sum_{j} w_{j} t_{i} t_{j} u_{j} = t_{i}$ s'écrit $u_{i} = t_{i} (1 + \frac{S}{2})$ avec $S = \sum_{j} w_{j} t_{j} u_{j}$ . En reportant, $S = (1 + \frac{S}{2}) \sum_{j} w_{j} t_{j}^{2} = (1 + \frac{S}{2}) \cdot \frac{1}{3}$ (la règle de Simpson intègre $t^{2}$ exactement : $\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ ), donc $S = \frac{2}{5}$ et $u_{i} = \frac{6}{5} t_{i}$ : la solution exacte. L'intégrande $t u (t) = \frac{6}{5} t^{2}$ est un polynôme de degré $2$ , que Simpson intègre sans erreur (elle est exacte jusqu'au degré $3$ ).