Série de Neumann — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Série de Neumann

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

On considère $u (x) = g (x) + λ \int_{0}^{1} x t u (t) d t$ sur $[0, 1]$ .

Calculer les noyaux itérés et la résolvante. Pour quels $λ$ la série de Neumann converge-t-elle ?
Calculer $∥ K ∥_{L^{2} ([0, 1]^{2})}$ et comparer avec la condition du théorème 11.16.
Retrouver le résultat de l'exemple 11.15.

$K_{2} (x, t) = \int_{0}^{1} x s s t d s = \frac{x t}{3}$ , et par récurrence $K_{j} = \frac{x t}{3 ^{j - 1}}$ . La résolvante $R = \sum_{j \geq 1} λ^{j - 1} \frac{x t}{3 ^{j - 1}} = \frac{3 x t}{3 - λ}$ converge pour $∣ λ ∣ < 3$ .
$∥ K ∥^{2} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2} t^{2} = \frac{1}{9}$ , donc $∥ K ∥ = \frac{1}{3}$ : le théorème 11.16 garantit la convergence pour $∣ λ ∣ < 3$ , ce qui est ici optimal ( $λ = 3$ est la valeur caractéristique).
$u = g + λ \int_{0}^{1} \frac{3 x t}{3 - λ} g (t) d t$ , valable pour tout $λ \neq = 3$ ; pour $g = x$ , $u = x + \frac{λ x}{3 - λ} = \frac{3 x}{3 - λ}$ .