Un noyau séparable de rang trois

Posons $a_1={\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos t\mathrm{d}t$, $a_2={\int }_{-\pi }^{\pi }{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t$, $a_3={\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sin t\mathrm{d}t$. Alors $f(x)=x+\lambda (a_{1}x+a_2\sin x+a_3\cos x)$. En reportant, avec les intégrales sur $[-\pi ,\pi ]$ (parité : $\int x\cos x=\int x^2\sin x=\int \sin x\cos x=0$, $\int x\sin x=2\pi$, $\int {\cos }^{2}x=\int {\sin }^{2}x=\pi$, $\int x^2\cos x=-4\pi$) :

$$a_1=\pi \lambda a_3,a_2=-4\pi \lambda a_3,a_3=2\pi +2\pi \lambda a_1+\pi \lambda a_2.$$

D'où $a_3(1-2{\pi }^2{\lambda }^2+4{\pi }^2{\lambda }^2)=2\pi$, soit $a_3=\frac{2\pi }{1+2{\pi }^2{\lambda }^2}$, et finalement

$$f(x)=\frac{(1+4{\pi }^2{\lambda }^2)x-8{\pi }^2{\lambda }^2\sin x+2\pi \lambda \cos x}{1+2{\pi }^2{\lambda }^2}.$$

Le déterminant du système vaut $1+2{\pi }^2{\lambda }^2>0$ pour tout réel $\lambda$ : solution unique. Les valeurs caractéristiques sont les racines $\lambda =\pm \frac{i}{\pi \sqrt{2}}$, non réelles, ce qui est possible car le noyau n'est pas symétrique.