Une équation de convolution non causale ?

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

On considère l'équation de Volterra de seconde espèce $u (x) = 1 + \int_{0}^{x} (x - t) u (t) d t$ , $x \geq 0$ .

Par la proposition 11.3 (avec $q = - 1$ , $f = 0$ , $y_{0} = 1$ , $y_{1} = 0$ ), l'équation équivaut à $u^{''} = u$ , $u (0) = 1$ , $u^{'} (0) = 0$ , dont la solution est $u = ch x$ .
L'intégrale est $(x * u)$ , de transformée $\frac{U}{p ^{2}}$ : $U = \frac{1}{p} + \frac{U}{p ^{2}}$ , donc $U = \frac{p}{p ^{2} - 1}$ et $u = ch x$ .
Le noyau $K (x, t) = x - t$ donne $V 1 = \frac{x ^{2}}{2}$ , $V^{2} 1 = \frac{x ^{4}}{24}$ , et $V^{j} 1 = \frac{x ^{2 j}}{( 2 j )!}$ : la série de Neumann est $\sum \frac{x ^{2 j}}{( 2 j )!} = ch x$ , pour tout $x$ , conformément au théorème 11.18.

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