Une équation de première espèce instable — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Une équation de première espèce instable

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

Soit $(K u) (x) = \int_{0}^{1} e^{x t} u (t) d t$ sur $[0, 1]$ .

Montrer que, pour $u_{n} (t) = sin (nπ t)$ , $∣ (K u_{n}) (x) ∣ \leq \frac{2 e}{nπ} + \frac{e}{nπ}$ pour tout $x \in [0, 1]$ (intégrer par parties).
En déduire que la solution de $K u = g$ , si elle existe, ne dépend pas continûment de $g$ pour la norme uniforme.

Corrigé

Une intégration par parties donne

$\int_{0}^{1} e^{x t} sin (nπ t) d t = [- \frac{cos ( nπ t )}{nπ} e^{x t}]_{0}^{1} + \frac{x}{nπ} \int_{0}^{1} e^{x t} cos (nπ t) d t,$

et pour $x \in [0, 1]$ , le crochet est majoré par $\frac{e + 1}{nπ} \leq \frac{2 e}{nπ}$ et l'intégrale par $\frac{e}{nπ}$ . Donc $∥ K u_{n} ∥_{\infty} \leq \frac{3 e}{nπ} \to 0$ (numériquement, $0, 055$ pour $n = 10$ et $0, 011$ pour $n = 50$ ).

Si $u$ est solution pour $g$ , $u + u_{n}$ est solution pour $g + K u_{n}$ . Les seconds membres diffèrent de moins de $\frac{3 e}{nπ}$ , aussi petit qu'on veut, tandis que les solutions diffèrent de $u_{n}$ , de norme uniforme $1$ : il n'y a pas de dépendance continue.