Une fonction de Green — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Une fonction de Green

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

On considère $- y^{''} = f$ sur $[0, 1]$ avec $y (0) = 0$ et $y^{'} (1) = 0$ .

Montrer que la solution est $y (x) = \int_{0}^{1} min (x, t) f (t) d t$ .
Calculer $y$ pour $f = 1$ et vérifier.
En déduire que le problème aux valeurs propres $- y^{''} = μ y$ avec ces conditions équivaut à une équation de Fredholm homogène, et retrouver ses fonctions propres en vérifiant $\int_{0}^{1} min (x, t) sin \frac{( 2 n - 1 ) π t}{2} d t = \frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} sin \frac{( 2 n - 1 ) π x}{2}$ .

$y (x) = \int_{0}^{x} t f (t) d t + x \int_{x}^{1} f (t) d t$ . Alors $y^{'} (x) = x f (x) + \int_{x}^{1} f - x f (x) = \int_{x}^{1} f$ , puis $y^{''} = - f$ . On a $y (0) = 0$ et $y^{'} (1) = 0$ . L'unicité : la différence de deux solutions est affine, nulle en $0$ , de dérivée nulle en $1$ , donc nulle.
$y (x) = \int_{0}^{x} t d t + x (1 - x) = x - \frac{x ^{2}}{2}$ ; on a bien $- y^{''} = 1$ , $y (0) = 0$ , $y^{'} (1) = 0$ .
D'après 1, $- y^{''} = μ y$ avec ces conditions équivaut à $y (x) = μ \int_{0}^{1} min (x, t) y (t) d t$ . Pour $φ_{n} = sin \frac{( 2 n - 1 ) π x}{2}$ (modes de l'exercice 10.1), $- φ_{n}^{''} = μ_{n} φ_{n}$ avec $μ_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}}{4}$ , donc $\int_{0}^{1} min (x, t) φ_{n} (t) d t = \frac{φ _{n} ( x )}{μ _{n}} = \frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} φ_{n} (x)$ ; on le vérifie aussi par un calcul direct (SymPy).