Volterra par Laplace — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Volterra par Laplace

Équations intégrales · niveau 2

Énoncé

Résoudre, pour $x \geq 0$ , l'équation $u (x) = sin x + 2 \int_{0}^{x} cos (x - t) u (t) d t$ .

Corrigé

L'intégrale est $(cos * u) (x)$ , convolution de fonctions causales. Avec $L [sin] = \frac{1}{p ^{2} + 1}$ et $L [cos] = \frac{p}{p ^{2} + 1}$ :

$U = \frac{1}{p ^{2} + 1} + \frac{2 p}{p ^{2} + 1} U ⟹ U \frac{p ^{2} - 2 p + 1}{p ^{2} + 1} = \frac{1}{p ^{2} + 1} ⟹ U = \frac{1}{( p - 1 ) ^{2}} .$

La table donne $u (x) = x e^{x}$ pour $x \geq 0$ . Vérification numérique en $x = 1, 1$ : $sin x + 2 \int_{0}^{x} cos (x - t) t e^{t} d t - x e^{x} \approx 4 \times 1 0^{- 16}$ . Par le théorème 11.18, c'est l'unique solution continue.