Abscisses de convergence — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Abscisses de convergence

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ d'abscisse $σ$ et $a \in C$ . Montrer que $e^{a t} f (t)$ a pour abscisse $σ + Re a$ , et que la fonction retardée $f (t - t_{0})$ ( $t_{0} > 0$ ) a la même abscisse que $f$ .
Déterminer l'abscisse de convergence de $e^{- t^{2}}$ , de $\frac{1}{1 + t}$ et de $t e^{3 t} cos t$ .
Pour $f (t) = cos t$ , calculer $lim_{x \to 0^{+}} x F (x)$ . Que peut-on en conclure sur $lim_{t \to + \infty} cos t$ ?

$\int ∣ e^{a t} f (t) ∣ e^{- x t} d t = \int ∣ f (t) ∣ e^{- (x - Re a) t} d t$ est finie si et seulement si $x - Re a > σ$ (ou $\geq$ dans le cas limite), d'où l'abscisse $σ + Re a$ . Pour le retard, $\int_{t_{0}}^{+ \infty} ∣ f (t - t_{0}) ∣ e^{- x t} d t = e^{- x t_{0}} \int_{0}^{+ \infty} ∣ f (u) ∣ e^{- xu} d u$ : mêmes valeurs de $x$ , même abscisse.
$e^{- t^{2}} e^{- x t}$ est intégrable sur $[0, + \infty [$ pour tout réel $x$ : $σ = - \infty$ . Pour $\frac{1}{1 + t}$ : intégrable contre $e^{- x t}$ si $x > 0$ , pas si $x \leq 0$ ( $\int \frac{d t}{1 + t} = + \infty$ ) : $σ = 0$ . Pour $t e^{3 t} cos t$ : $t cos t$ a pour abscisse $0$ , donc $σ = 3$ .
$x F (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} \to 0$ quand $x \to 0^{+}$ . On ne peut rien en conclure : $cos t$ n'a pas de limite en $+ \infty$ , et le théorème de la valeur finale suppose l'existence de cette limite.