Convolution d'exponentielles causales — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Convolution d'exponentielles causales

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Pour $λ > 0$ , on pose $f_{λ} (t) = e^{- λ t} H (t)$ .

Calculer $f_{α} * f_{β}$ pour $α \neq = β$ , puis $f_{α} * f_{α}$ .
Retrouver ces résultats par la transformée de Laplace.
Calculer $f_{α} * f_{α} * f_{α}$ , et conjecturer la convolée de $n$ exemplaires de $f_{α}$ .

Ce sont des fonctions causales (proposition 4.8) : pour $x < 0$ , la convolée est nulle, et pour $x \geq 0$ , c'est le calcul de l'exemple 4.9 : $(f_{α} * f_{β}) (x) = \frac{e ^{- β x} - e ^{- α x}}{α - β}$ et $(f_{α} * f_{α}) (x) = x e^{- α x}$ .
$L [f_{α}] = \frac{1}{p + α}$ , d'abscisse $- α$ . Par le théorème 4.19, $L [f_{α} * f_{β}] = \frac{1}{( p + α ) ( p + β )} = \frac{1}{α - β} (\frac{1}{p + β} - \frac{1}{p + α})$ , qui est bien la transformée de la fonction trouvée. Pour $α = β$ , $\frac{1}{( p + α ) ^{2}} = L [t e^{- α t}]$ .
$L [f_{α}^{* 3}] = \frac{1}{( p + α ) ^{3}} = L [\frac{t ^{2}}{2} e^{- α t}]$ . Plus généralement, la convolée de $n$ exemplaires a pour transformée $\frac{1}{( p + α ) ^{n}}$ , donc vaut $\frac{t ^{n - 1}}{( n - 1 )!} e^{- α t} H (t)$ (loi d'Erlang, en probabilités).