Convolution et dérivation

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Soient $f \in L^{1} (R)$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

Montrer que $f * g$ est définie en tout point, bornée, et de classe $C^{\infty}$ sur $R$ .
Calculer $f * g$ lorsque $f = 1_{[0, 1]}$ , en fonction de la fonction d'erreur $erf (x) = \frac{2}{π} \int_{0}^{x} e^{- u^{2}} d u$ .

$g$ est bornée par $1$ : $f * g$ est définie partout et $∥ f * g ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{1}$ (théorème 4.2). Toutes les dérivées de $g$ sont de la forme $P (x) e^{- x^{2}}$ avec $P$ polynôme : elles sont bornées. Par la proposition 4.4 appliquée à $g$ , puis à $g^{'}$ , $g^{''}$ …, $f * g$ est $C^{\infty}$ et $(f * g)^{(k)} = f * g^{(k)}$ .
$(f * g) (x) = \int_{0}^{1} e^{- (x - t)^{2}} d t = \int_{x - 1}^{x} e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} (erf (x) - erf (x - 1))$ .

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