Équation intégrale d'Abel — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Équation intégrale d'Abel

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Calculer $L [t^{- 1/2}]$ et $L [t^{1/2}]$ .
Trouver $f$ causale telle que, pour tout $t \geq 0$ , $\int_{0}^{t} \frac{f ( s )}{t - s} d s = t$ , puis vérifier le résultat par un calcul direct.

Corrigé

Par l'exemple 4.11, $L [t^{- 1/2}] = \frac{Γ ( 1/2 )}{p ^{1/2}} = \frac{π}{p}$ et $L [t^{1/2}] = \frac{Γ ( 3/2 )}{p ^{3/2}} = \frac{π}{2 p ^{3/2}}$ (car $Γ (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2})$ ).
Le premier membre est $f * k$ avec $k (t) = t^{- 1/2} H (t)$ . Par Laplace : $F \frac{π}{p} = \frac{1}{p ^{2}}$ , donc $F = \frac{1}{π p ^{3/2}} = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2 p ^{3/2}}$ , et $f (t) = \frac{2}{π} t$ . Vérification : avec $s = t u$ ,

$\int_{0}^{t} \frac{2 s}{π t - s} d s = \frac{2 t}{π} \int_{0}^{1} \frac{u}{1 - u} d u = \frac{2 t}{π} \cdot \frac{π}{2} = t,$

l'intégrale se calculant par $u = sin^{2} θ$ : $\int_{0}^{π /2} 2 sin^{2} θ d θ = \frac{π}{2}$ . Cette équation, étudiée par Abel en 1823, donne la forme d'une courbe sur laquelle un objet glisse en un temps prescrit.