La porte et ses convolées — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

La porte et ses convolées

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Soit $Π = 1_{[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]}$ .

Calculer $Λ = Π * Π$ .
Calculer $Π * Π * Π = Λ * Π$ et vérifier qu'elle est de classe $C^{1}$ sur $R$ , de support $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ et d'intégrale $1$ .
Sans calcul, que vaut $\int_{R} Π * Π * Π * Π$ ? Quel est son support ?

Corrigé

C'est l'exemple 4.5 : $Λ (x) = max (1 - ∣ x ∣, 0)$ .
$(Λ * Π) (x) = \int_{x - 1/2}^{x + 1/2} Λ (t) d t$ : c'est l'aire sous le triangle entre $x - \frac{1}{2}$ et $x + \frac{1}{2}$ . On trouve

$(Π * Π * Π) (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{4} - x^{2} \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - ∣ x ∣)^{2} 0 si ∣ x ∣ \leq \frac{1}{2}, si \frac{1}{2} \leq ∣ x ∣ \leq \frac{3}{2}, si ∣ x ∣ \geq \frac{3}{2} .$

Raccords en $x = \frac{1}{2}$ : les deux expressions valent $\frac{1}{2}$ et leurs dérivées valent $- 1$ ; en $x = \frac{3}{2}$ : valeur $0$ et dérivée $0$ . La fonction est donc $C^{1}$ (mais pas $C^{2}$ ). Son support est $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ (proposition 4.4) et son intégrale vaut $(\int Π)^{3} = 1$ (théorème 4.1). Valeurs : $\frac{3}{4}$ en $0$ , $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{8}$ en $1$ .

L'intégrale vaut $1$ et le support est $[- 2, 2]$ , par les mêmes résultats.