Oscillateur en résonance

Le second membre et la solution cherchée sont d'ordre exponentiel ; les conditions initiales sont nulles, donc $\mathcal{L}[f^{\prime \prime }]=p^{2}F$. On obtient $F(p)=\frac{2}{(p^2+4{)}^2}$, puis (exemple 4.23)

$$f(t)=\frac{\sin (2t)}{8}-\frac{t\cos (2t)}{4}.$$

On vérifie : $f(0)=0$, $f^{\prime }(t)=\frac{\cos 2t}{4}-\frac{\cos 2t}{4}+\frac{t\sin 2t}{2}=\frac{t\sin 2t}{2}$, donc $f^{\prime }(0)=0$, et $f^{\prime \prime }=\frac{\sin 2t}{2}+t\cos 2t=\sin 2t-4f$. Quand $t\to +\infty$, $f$ oscille avec une amplitude $\sim \frac{t}{4}$ qui croît sans borne : la résonance détruirait un système réel.