Retrouver la fonction — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Retrouver la fonction

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Soient $τ > 0$ , $ω > 0$ et $0 < λ < 1$ . Déterminer les fonctions causales dont les transformées de Laplace sont

$\frac{1}{1 + τ p}, \frac{1}{p ( 1 + τ p )}, \frac{1}{p ^{2} ( 1 + τ p )}, \frac{1}{1 + \frac{2 λ}{ω} p + \frac{p ^{2}}{ω ^{2}}} .$

Interpréter la dernière comme la réponse impulsionnelle d'un oscillateur amorti.

Corrigé

$\frac{1}{1 + τ p} = \frac{1}{τ} \cdot \frac{1}{p + 1/ τ}$ : $f (t) = \frac{1}{τ} e^{- t / τ}$ .
$\frac{1}{p ( 1 + τ p )} = \frac{1}{p} - \frac{1}{p + 1/ τ}$ : $f (t) = 1 - e^{- t / τ}$ (c'est aussi la primitive de la précédente, proposition 4.16).
$\frac{1}{p ^{2} ( 1 + τ p )} = \frac{1}{p ^{2}} - \frac{τ}{p} + \frac{τ}{p + 1/ τ}$ : $f (t) = t - τ + τ e^{- t / τ}$ .
$1 + \frac{2 λ}{ω} p + \frac{p ^{2}}{ω ^{2}} = \frac{( p + λω ) ^{2} + ω ^{2} ( 1 - λ ^{2} )}{ω ^{2}}$ . Avec $ω_{1} = ω 1 - λ^{2}$ , $F (p) = \frac{ω ^{2}}{( p + λω ) ^{2} + ω _{1}^{2}} = \frac{ω ^{2}}{ω _{1}} \cdot \frac{ω _{1}}{( p + λω ) ^{2} + ω _{1}^{2}}$ , donc

$f (t) = \frac{ω}{1 - λ ^{2}} e^{- λω t} sin (ω 1 - λ^{2} t) .$

C'est la réponse impulsionnelle d'un oscillateur de pulsation propre $ω$ et de taux d'amortissement $λ < 1$ : une oscillation pseudo-périodique, de pseudo-pulsation $ω_{1} < ω$ , amortie en $e^{- λω t}$ .