Signal périodique — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Signal périodique

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ causale et $T$ -périodique sur $[0, + \infty [$ , localement intégrable. Montrer que, pour $Re p > 0$ ,

$L [f] (p) = \frac{1}{1 - e ^{- pT}} \int_{0}^{T} f (t) e^{- pt} d t .$

En déduire la transformée du signal carré égal à $1$ sur $[k T, k T + \frac{T}{2} [$ et à $0$ sur $[k T + \frac{T}{2}, (k + 1) T [$ , $k \in N$ .

Corrigé

$f$ est bornée en moyenne sur chaque période : pour $Re p = x > 0$ , $\int_{0}^{+ \infty} ∣ f ∣ e^{- x t} = \sum_{k} \int_{k T}^{(k + 1) T} ∣ f ∣ e^{- x t} \leq \sum_{k} e^{- x k T} \int_{0}^{T} ∣ f ∣ < + \infty$ , donc $σ (f) \leq 0$ . Par la série d'intégrales (corollaire 1.25) et la périodicité, avec $t = k T + s$ ,

$F (p) = k \geq 0 \sum \int_{0}^{T} f (s) e^{- p (k T + s)} d s = k \geq 0 \sum e^{- p k T} \int_{0}^{T} f (s) e^{- p s} d s = \frac{1}{1 - e ^{- pT}} \int_{0}^{T} f (s) e^{- p s} d s .$

$\int_{0}^{T /2} e^{- pt} d t = \frac{1 - e ^{- pT /2}}{p}$ , donc $F (p) = \frac{1 - e ^{- pT /2}}{p ( 1 - e ^{- pT} )} = \frac{1}{p ( 1 + e ^{- pT /2} )}$ .