Une équation du troisième ordre — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Une équation du troisième ordre

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Résoudre $f^{'''} - 3 f^{''} + 3 f^{'} - f = t^{2} e^{t}$ , avec $f (0) = 1$ , $f^{'} (0) = 0$ , $f^{''} (0) = - 2$ .

Corrigé

Le premier membre est $(\frac{d}{d t} - 1)^{3} f$ . Avec $L [f^{'''}] = p^{3} F - p^{2} f (0) - p f^{'} (0) - f^{''} (0) = p^{3} F - p^{2} + 2$ , $L [f^{''}] = p^{2} F - p$ et $L [f^{'}] = pF - 1$ :

$(p - 1)^{3} F - p^{2} + 2 + 3 p - 3 = \frac{2}{( p - 1 ) ^{3}}, F = \frac{p ^{2} - 3 p + 1}{( p - 1 ) ^{3}} + \frac{2}{( p - 1 ) ^{6}} .$

En écrivant $p^{2} - 3 p + 1 = (p - 1)^{2} - (p - 1) - 1$ : $F = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{( p - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( p - 1 ) ^{3}} + \frac{2}{( p - 1 ) ^{6}}$ . La table donne

$f (t) = e^{t} (1 - t - \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{5}}{60}) .$