Une équation intégrale de Volterra — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Une équation intégrale de Volterra

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Trouver la fonction $f$ , continue sur $[0, + \infty [$ , telle que pour tout $x \geq 0$

$f (x) = x + 2 \int_{0}^{x} e^{- t} cos (2 t) f (x - t) d t .$

Corrigé

L'équation s'écrit $f = x + 2 (k * f)$ avec $k (t) = e^{- t} cos (2 t)$ , causale. Par Laplace, avec $K (p) = \frac{p + 1}{( p + 1 ) ^{2} + 4}$ :

$F = \frac{1}{p ^{2}} + 2 K F, F = \frac{1}{p ^{2} ( 1 - 2 K )} = \frac{( p + 1 ) ^{2} + 4}{p ^{2} ( ( p + 1 ) ^{2} + 4 - 2 ( p + 1 ) )} = \frac{p ^{2} + 2 p + 5}{p ^{2} ( p ^{2} + 3 )} .$

Décomposition : $F = \frac{5}{3 p ^{2}} + \frac{2}{3 p} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p}{p ^{2} + 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{p ^{2} + 3}$ , d'où

$f (x) = \frac{5 x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} cos (3 x) - \frac{2}{3 3} sin (3 x) .$

Contrôle : $f (0) = 0$ , comme l'impose l'équation en $x = 0$ ; une vérification numérique de l'équation en $x = 0, 5$ et $x = 1, 3$ donne bien les deux membres égaux ( $0, 7749$ et $2, 9539$ ).