Une table de transformées — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Une table de transformées

Produit de convolution et transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Calculer directement, en précisant l'abscisse de convergence, les transformées de Laplace de $H$ , $t$ , $t^{n}$ , $e^{- α t}$ , $t^{n} e^{- α t}$ , $cos (ω t)$ et $sin (ω t)$ ( $α > 0$ , $ω > 0$ ), puis montrer que $L [f (t) e^{- α t}] (p) = L [f] (p + α)$ .

Corrigé

Pour $Re p > 0$ , $L [H] = \int_{0}^{+ \infty} e^{- pt} d t = \frac{1}{p}$ . Par parties, pour $n \geq 1$ et $Re p > 0$ , $\int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- pt} d t = [- \frac{t ^{n} e ^{- pt}}{p}]_{0}^{+ \infty} + \frac{n}{p} \int_{0}^{+ \infty} t^{n - 1} e^{- pt} d t$ , le crochet étant nul ; par récurrence, $L [t^{n}] = \frac{n !}{p ^{n + 1}}$ (abscisse $0$ ), en particulier $L [t] = \frac{1}{p ^{2}}$ . Ensuite $L [e^{- α t}] = \int_{0}^{+ \infty} e^{- (p + α) t} d t = \frac{1}{p + α}$ pour $Re p > - α$ . La règle demandée vient de $f (t) e^{- α t} e^{- pt} = f (t) e^{- (p + α) t}$ ; elle donne $L [t^{n} e^{- α t}] = \frac{n !}{( p + α ) ^{n + 1}}$ , abscisse $- α$ . Enfin, pour $Re p > 0$ , par linéarité à partir de $L [e^{\pm iω t}] = \frac{1}{p \mp iω}$ :

$L [cos ω t] = \frac{1}{2} (\frac{1}{p - iω} + \frac{1}{p + iω}) = \frac{p}{p ^{2} + ω ^{2}}, L [sin ω t] = \frac{1}{2 i} (\frac{1}{p - iω} - \frac{1}{p + iω}) = \frac{ω}{p ^{2} + ω ^{2}},$

avec l'abscisse $0$ ( $∣ cos ω t ∣$ n'est pas intégrable sur $[0, + \infty [$ ).